¿Qué son las Matemáticas?

Extracto de un libro de próxima publicación, del que se han seleccionado 17 de 21 preguntas y respuestas que permiten hacerse una idea de la perspectiva de las Matemáticas desde la filosofía de Gustavo Bueno (materialismo formalista). Esta síntesis puede ser vista como una guía panorámica.

 
1) ¿Cuál es el origen de las matemáticas?

Todas las ciencias provienen de técnicas consolidadas. Tal es el caso de las primeras categorías matemáticas: la Aritmética y la Geometría suponen, ante todo, la escritura.

No son fruto del ocio y contemplación humanas, como refiere cierta tradición aristotélica, sino que todas las ciencias provienen de técnicas previas, que a su vez resuelven problemas prácticos que se les presentan a distintos grupos de hombres. La Aritmética provendría de técnicas de contabilidad en las que hay que usar recuentos, ya sean relacionados con el ganado, con ceremonias religiosas o con la administración sociopolítica. La Geometría se vincula, entre otras técnicas, con la albañilería o la agrimensura (las famosas recomposiciones de terrenos ante las crecidas anuales del Nilo). La teoría de Probabilidades tiene su origen en los juegos de azar.

También es cierto que hay categorías matemáticas que surgen de la composición de otras categorías matemáticas previas. Por ejemplo, la Geometría algebraica se compone de la Geometría analítica que surge en el siglo XVII con Descartes, y del Álgebra del siglo XIX. Ver pregunta 11).

 
2) ¿Surgen las Matemáticas en Grecia o en otras Civilizaciones previas?

En sentido amplio se puede decir que las Matemáticas surgen en civilizaciones anteriores a la griega, sobre todo en su fase genética. Así, por ejemplo, en papiros egipcios se encuentran problemas sobre cálculos de contenedores y almacenes, o dimensiones de terraplenes. Los egipcios y babilonios sabían determinar áreas y volúmenes sencillos, conocían una aproximación de π (razón de la longitud de la circunferencia y el diámetro), y tal vez sabrían calcular el área de una esfera.

En Mesopotamia se usaba, para problemas aritméticos, la base 60, aún hoy presente en medidas angulares o del tiempo. Los egipcios alcanzaron gran destreza en el cálculo con fracciones (repartos de pan, &c.). Sobre culturas como la india o la china cabe hacer parecidas consideraciones.

También desarrollaron técnicas rudimentarias, mediante aplicación de áreas, para resolver lo que hoy se aborda con ecuaciones. Por eso se ha dicho, sin precisión, que desarrollaron un Álgebra geométrica.

Pero en sentido estricto, es en Grecia donde se consolida la Geometría y la Aritmética, pues solo los griegos alcanzaron la demostración y la construcción teórica, los pilares de las Matemáticas. En rigor, los griegos consiguen hacer de la Geometría una categoría matemática, es decir, una ciencia, y su plasmación son los Elementos de Euclides. Ver preguntas 9) y 11).

 
3) ¿Son las Matemáticas un lenguaje? ¿En caso de serlo, es lenguaje natural o artificial?

Las matemáticas no pueden definirse sin más como un lenguaje. Sí es cierto que están involucrados necesariamente dos tipos de lenguaje: el ideogramático simbólico y los lenguajes naturales, como dice Lorenzo (1994: 235). Las lenguas naturales comienzan por ser orales, fonológicas, y solo después pasan por el trámite de la escritura (cuando lo hacen). Las Matemáticas, sin embargo, tienen su punto de partida en el ideograma, pero necesitan del lenguaje natural para construir, articular, los razonamientos.

 
4) ¿Son las Matemáticas el lenguaje del Universo, al modo de Pitágoras, Platón o Galileo?

No. Porque las Matemáticas no hacen sino estudiar las propiedades de las figuras construidas (los ideogramas) por los sujetos operatorios (humanos) en soportes cuya lógica es bidimensional (encerado, arena, papel). Distinto problema es el de la milagrosa efectividad de las matemáticas (ver pregunta 17). Que las figuras y los símbolos sean construcción de los matemáticos no significa que la semántica que arrojan sea caprichosa o arbitraria, sino que es radicalmente objetiva, y se alcanzan verdades en sentido riguroso. Ver pregunta 10).

 
5) ¿Qué tienen en común las Matemáticas con el lenguaje?

Para Gustavo Bueno (1992: 110-126) el cuerpo de las ciencias se distribuye en tres ejes, al modo de las lenguas: sintáctico (términos, operaciones, relaciones), semántico (referenciales, fenómenos, esencias) y pragmático (autologismos, dialogismos, normas). Esto permite clasificar los materiales científicos. Por ejemplo, en Geometría, son términos las rectas, los puntos o los círculos. Son operaciones las de unir puntos o cortar rectas. Son relaciones las que hay entre el ángulo inscrito y el central de la circunferencia. Referenciales son las líneas y los redondeles que dibujamos en el papel. Fenómenos son las figuras en tanto que son operadas por profesor y alumnos en una clase. Una esencia es por ejemplo el teorema de Pitágoras. Los autologismos son los recuerdos y la experiencia del matemático que permiten resolver un problema. Los dialogismos son la comunicación, los libros, o la discusión sobre el V postulado. Una norma es el uso restringido de la regla y el compás.

 
6) ¿Las Matemáticas consisten en derivar proposiciones de principios, al modo como Aristóteles entendía la ciencia? ¿Qué son realmente los principios en Matemáticas?

El enfoque proposicionalista aristotélico consiste en ver las Matemáticas como deducciones a partir de principios evidentes e inmediatos captados por el nous, como el que dice que el todo es mayor que la parte. Pero no es nada más que un enfoque, y tiene que ver con el orden expositivo, una vez que la teoría está acabada. Si se pone el foco en la construcción y en la racionalidad de cada teorema, en el quehacer cotidiano del matemático, se entiende que lo fundamental no es sino el ingenio, la intuición, los recuerdos del matemático resolviendo un problema o buscando la demostración de un teorema. Se razona sobre ideogramas singulares, y no a partir de postulados o axiomas. Esto último lo demostró claramente Bueno (2009a) al analizar la racionalidad noetológica del teorema I.1 de los Elementos.

Para la Filosofía de la ciencia (gnoseología) de Gustavo Bueno, también conocida como Teoría del cierre categorial (en adelante TCC), los principios se ven de manera muy distinta (Bueno, 1995b: III.10). No se dan previamente a las ciencias, sino de un modo interno a ellas (como en Medicina se habla de un principio activo). Gustavo Bueno distingue principios sintácticos y pragmáticos en tanto tienen alguna involucración con el eje semántico.

Digamos algo de los principios sintácticos. Los principios de los términos son los términos primitivos del campo en tanto están enclasados y protocolizados. Un esquema material de identidad, como la circunferencia, que cristaliza en un contexto determinante, será un principio de la Geometría euclidiana. En efecto, es tal la cantidad de relaciones (angulares, de simetría, &c.) que están contenidas potencialmente en la circunferencia, que puede ella misma considerarse un principio geométrico, ya que está, de una manera o de otra, en casi todas proposiciones de los Elementos. Los principios de las relaciones, podrían coordinarse con los axiomas de los Elementos: son la base para establecer las congruencias (relaciones de igualdad de figuras por movimientos rígidos; no olvidemos que esta era la esencia de la Geometría de Euclides, para Félix Klein). Y, por último, los postulados euclidianos serían los principios de las operaciones que, formulados en infinitivos (trazar, prolongar, describir...) casan perfectamente con la sugerencia de Bueno.

 
7) ¿Hay algún fundamento sólido de las Matemáticas? ¿Desde la Filosofía se ha intentado encontrar dicho fundamento?

No hay un fundamento único. Hay muchos modos de hacer y muchas categorías matemáticas, que son irreductibles entre sí. Solo comparten el hecho de ser ciencias ideogramáticas de lógica bidimensional. Sin embargo, se han intentado encontrar fundamentos, tras las crisis lógicas producidas por las geometrías no euclidianas, a lo largo de los siglos XIX y XX.

Cabe destacar el pitagorismo (matemáticas se pueden reducir a formas lógicas, numéricas o eidéticas), el intuicionismo (fundamentado en reglas de la mente humana) y el formalismo (matemáticas gobernadas por la pura sintaxis: axiomas y reglas lógicas de derivación).

Negadas dialécticamente (Madrid: 2018, 81-94) las opciones que se han decantado por el fundamento, se abre otra vía: la del materialismo formalista que defiende Gustavo Bueno y, a su modo, Javier de Lorenzo. Las Matemáticas consisten en una pluralidad de métodos y tienen diversos fundamentos. Lo único que tienen en común todas las disciplinas matemáticas es su carácter tipográfico, y en esto se parece al formalismo hilbertiano; pero se distancia de él en su manera de entender la semántica (y la pragmática) de los símbolos y de los ideogramas. Las formulaciones de las Matemáticas (y la Lógica formal) llevan en su propia suppositio materialis, en el ser significantes de los símbolos e ideogramas, su propio contenido material y formal. Circuitos sintácticos, semánticos y pragmáticos que incluyen unas estructuras lógicas propias, singulares, pero no por ello caprichosas o subjetivas. Tampoco son esferas megáricas separadas de las operaciones prácticas; por ejemplo, la suma y la resta son una reconfiguración de las operaciones de juntar y separar objetos.

 
8) ¿Cuáles son los diversos modos del hacer matemático y los estilos que prueban la pluralidad de métodos y fundamentos en matemáticas?

Javier de Lorenzo (2000: 127-132) señala tres modos de Hacer básicos: el Figural, el Global y el Computacional.

En el Ámbito simbólico el Hacer matemático maneja primeramente la figura concreta (ecuación, sistema, circunferencia) y busca obtener sus propiedades. A partir de un objeto dado, resolver un problema concreto planteado. Es el Hacer Figural. Sería el modo de hacer matemáticas hasta el siglo XIX, momento en el que se produce una revolución epistemológica profunda en todas las ciencias: se empieza a hablar de especies en Biología, de estructuras sociales, de nacionalidades... En Matemáticas el Hacer Figural se transforma en un Hacer Global. El punto de partida, el elemento óntico constitutivo de este hacer, es el sistema o agregado de objetos. Por decirlo con terminología de Bueno, se trata de totalidades atributivas (conjuntos, sobre todo) en los que se busca encontrar propiedades distributivas, comunes a todos los elementos del conjunto. Nos encontramos aquí con las definiciones por abstracción, las relaciones de equivalencia o la teoría de grupos y categorías. Las relaciones se establecen, típicamente, mediante funciones que relacionan estructuras (morfismos). En la filosofía de Gustavo Bueno, concretando más, esta revolución del Hacer Global, correspondería, aproximadamente, con lo que llamó procesos de holización. Ciertas totalidades anatómicas serían sometidas a un lisado para una reconstrucción posterior de nuevas totalidades desde partes de tipo ya atómico. Sería el caso de la nación política surgida tras la revolución francesa: los estamentos y privilegios anteriores serían borrados en la nación de ciudadanos franceses. Sería la constitución de la Química como ciencia a partir de sus elementos; también del Cálculo Infinitesimal; o de la construcción de los Números reales, o de la Teoría de Grupos.

Por último, en el siglo XX, con la aparición del ordenador y la transformación social de ciertos Estados se habría producido la última inversión epistemológica: el Hacer computacional. Los elementos ónticos ya no son la circunferencia o la ecuación; tampoco el conjunto, la estructura o el morfismo; sino el programa con su formulación sintáctica incorporada. Interesante también es observar cómo los aparatos intervienen en el quehacer matemático, de modo esencial. No debe pensarse que es solo el uso de la regla y el compás, que tampoco deben entenderse como meras prolongaciones auxiliares de la mano del matemático, sino que son instrumentos determinantes de procedimientos, problemas y teoremas.

A su vez, dentro de cada Hacer hay multitud de estilos y modos. Pero basten estas tres revoluciones radicales señaladas por Lorenzo como prueba de la pluralidad de métodos irreductibles: las Matemáticas, con sus métodos, instrumentos, problemas, conjeturas y teorías son, así, radicalmente plurales y no puede haber un fundamento definitivo ni unívoco de esta pluralidad anómala.

 
9) ¿Qué es el cierre categorial de las Matemáticas?

La idea de cierre categorial es el núcleo de la TCC. El concepto de cierre está tomado precisamente de las Matemáticas. Más en concreto de la teoría de Grupos. Dado un grupo G se dice que una operación * es cerrada en ese grupo si dados dos elementos a, b de G entonces a*b pertenece a G . Por ejemplo, la suma es cerrada en el grupo de los Enteros, ya que la suma de dos números enteros arroja otro número entero. La idea que quiere aplicar Bueno es que las operaciones con ciertos tramos de la realidad técnica o científica surgen concatenaciones de teoremas que forman una categoría independiente de otras. No hay que confundir el concepto de categoría de Bueno con el de otros filósofos. Por ejemplo, para Aristóteles hay tantas ciencias como categorías. La TCC, dando la vuelta, proclama que hay tantas categorías como ciencias (Bueno: 1992, 644). Para Aristóteles las categorías son anteriores a las ciencias, eternas. Para la TCC las categorías del mundo, que se van abriendo a través de las ciencias, son construcciones de los hombres. Esto no significa caer en el idealismo, pues las categorías científicas, aunque sean construidas por los hombres (¿por quién si no?) son estrictamente objetivas. Y en ellas se da la verdad en sentido fuerte, como se verá en la pregunta 10). En la 11) se verá cuántas son las categorías matemáticas.

 
10) ¿Dónde está la verdad en Matemáticas?

Principalmente la verdad matemática se entiende como identidad sintética, que se produce tras ciertas operaciones con símbolos tipográficos que arrojan una identidad sintética y que neutralizan las operaciones (y la voluntad) de los agentes que han llevado a esa identidad.

Pongamos un ejemplo típico, el teorema de Pitágoras (I.47). La verdad del teorema no hay que ir a buscarlo en ninguna adecuación con el Cielo platónico, sino que se trata de un ajuste, de una convergencia entre distintas partes del ideograma bidimensional. Se trata, siguiendo a Euclides, de dibujar un triángulo rectángulo con medidas arbitrarias, y sobre cada lado se trazan cuadrados. Estos son los contextos determinados del teorema. Al trazar ciertas paralelas y rectángulos se obtiene el contexto determinante: están puestas todas las piezas para poder llegar al ajuste (esta es la identidad sintética) entre todas ellas y concluir que el área del cuadrado que se ha levantado sobre la hipotenusa es igual (igualdad esencial, no sustancial) a la suma de los cuadrados levantados sobre los catetos. La universalidad de la demostración está en el hecho de que el triángulo tomado es arbitrario, lo que significa que no depende de medidas concretas, sino que la verdad reside en la lógica interna de las operaciones con el ideograma despiezado (Madrid: 2018, 94). En la pregunta 15) se ponen otros ejemplos de identidades sintéticas.

En otro sentido se habla de verdad de una teoría de un modo más formal (o formalista): una teoría es verdadera si es coherente. Es decir, si tiene unos axiomas y definiciones de los que se siguen (expositivamente) los teoremas. Para entender la TCC hay que tener claro que la verdad está, sobre todo, en cada teorema, donde se dan silogismos atributivos (conexiones entre partes, ajustes, identidades sintéticas, &c.).

 
11) ¿Cuántas categorías matemáticas hay?

Seguimos aquí los sugerentes apuntes de la obra ya citada de Carlos M. Madrid Casado en su capítulo 10 (ver bibliografía).

Ya se ha dicho que el origen de las ciencias estaría en técnicas previas consolidadas. Así, por ejemplo, el caso de la Aritmética, la Geometría o la teoría de las Probabilidades. Vamos a clasificar ahora las categorías matemáticas en cinco grupos, según se hayan construido esas mismas categorías (Madrid, 2018: 111-115):

1) Por construcción de un campo nuevo a coordinar con los precedentes: la Geometría.

Los Elementos de Euclides suponen el cierre categorial de la Geometría, pues habrían sobrepasado el momento técnico de los agrimensores o los albañiles, que usaban el teorema de Pitágoras, con cuerdas de tres, cuatro y cinco nudos para obtener ángulos rectos. Además, en Euclides (libro V) se ofreció una teoría de la proporcionalidad que superó la crisis pitagórica de los inconmensurables.

2) Por segregación interna de una ciencia respecto de otras ciencias: la Aritmética.

Si bien es cierto que Euclides trató en los libros VII-X la Aritmética, para Madrid Casado, no se habría terminado de producir el cierre categorial de esta ciencia, pues en los Elementos no se habría desligado por completo la Aritmética de la Geometría. El cierre lo lograría Diofanto, que toma en consideración la multiplicación de más de tres números (3×5×7×2) y que contiene una versión del Teorema Fundamental de la Aritmética (Todo número natural puede descomponerse de manera única en factores primos).

3) Por inflexión dentro de una misma categoría: el Álgebra.

Babilonios, egipcios y griegos resolvieron el equivalente a problemas algebraicos de resolución de ecuaciones mediante aplicación de áreas. Un nuevo aparato simbólico, desarrollado durante siglos (Diofanto, Al-Khuwarizmi, Vieta) produjo una verdadera inflexión en el desarrollo de las técnicas algebraicas. El cierre categorial del Álgebra lo constituiría el llamado, precisamente, Teorema Fundamental del Álgebra, demostrado por Gauss y que afirma que todo polinomio con coeficientes enteros se puede descomponer en factores lineales en el campo complejo.

4) Por composición o intersección de categorías: la Geometría analítica, el Análisis y la Topología.

La Geometría analítica es la intersección de Geometría, Aritmética y Álgebra a la altura del siglo XVII. El Análisis cierra con el Teorema fundamental del Cálculo, que relaciona el Cálculo diferencial y el Integral. La Topología es la composición del analysis situs (topología combinatoria) y de la teoría descriptiva de conjuntos.

5) Por segregación oblicua (aplicación de una categoría sobre otra): la Estadística.

Uno de los cursos progenitores de la Estadística hay que buscarlo en la teoría de Probabilidades. Otro curso es la ciencia del Estado (técnicas de recuentos de población para objetivos censales, fiscales, &c.), y un tercero sería la Biología evolutiva.

 
12) ¿Hay revoluciones científicas en matemáticas?

Hay quien pudiera pensar que las llamadas crisis de los fundamentos de los siglos XIX y XX van asociadas a revoluciones. Como dice Lorenzo (1998: 13-14), no hay realmente crisis de fundamentos, sino inversiones en los modos de hacer (ver pregunta 8). Para Madrid Casado, por su parte (2018: 116), el debate acerca de las revoluciones está desplazado, ya que, tal y como lo formula Kuhn, es más sociológico que gnoseológico. La constitución de nuevas categorías matemáticas no han de verse como una revolución que invalide las categorías ya existentes. Por ejemplo, la geometría de Euclides mantiene su validez y fortaleza en su campo (isometrías del plano y el espacio), es decir, que no fue superada por las geometrías no euclidianas, que operan negando el V postulado, y construyen sus teoremas en base a otro modo de hacer. En Matemáticas conviven una pluralidad irreductible de categorías, cada una con su legalidad propia.

 
13) ¿En qué se diferencian las Matemáticas de la Lógica formal?

Tal vez el criterio de demarcación más pertinente para distinguir la Lógica formal de las disciplinas (anómalas) matemáticas sea a través de las operaciones de cada una. Gustavo Bueno (1979) llama a las operaciones propias de la Lógica formal autoformantes y a las de las Matemáticas heteroformantes. Esto viene a significar que el circuito de signos tipográficos de la Lógica formal es esencialmente cerrado, y en Matemáticas abierto. Pongamos algún ejemplo. Una fórmula típica de la lógica formal es p→q ⇔ ¬p∨q. Otra: x * x = x. Como se podrá entender, el circuito de términos, operaciones y relatores se va llamando a sí mismo.

Sin embargo, en Matemáticas intervienen más estructuras que hacen surgir nuevos términos y relaciones. Ejemplo: en Álgebra x + x = 2x. Ese 2 no podía aparecer en Lógica, pero sí en Álgebra, que tiene asociada a los símbolos x la estructura de los números enteros (o los reales). Dicho de otro modo, la Lógica formal se agota en las combinaciones de sus símbolos de partida. Las Matemáticas, a través de sus ideogramas y estructuras heterogéneas, se construyen con totalidades acumulativas (atributivas) que permiten la aparición de teoremas nuevos y sorprendentes. Esto no impide que haya algunas operaciones autoformantes en Matemáticas, como 1×1=1, la operación modular del producto en Aritmética.

Para ver desarrollada de la tesis de los ideogramas como lugar central en Matemáticas, ver Lorenzo (1994) y Madrid Casado (2022).

 
14) ¿Cuál es el criterio de la unidad y la distinción de las categorías matemáticas?

Para Carlos Madrid (2018: 111) la distinción entre ciencias matemáticas es la multiplicidad de sus categorías (ya señalada) y su unidad viene dada por la Historia. Podemos añadir que todas las categorías matemáticas tienen algo en común: tener como operaciones propias las heteroformantes, y como sus referenciales los signos tipográficos.

Gustavo Bueno (2000: 70-71) se pregunta cuál es la unidad de las categorías matemáticas. Sugiere dividir la cuestión en dos grandes grupos. Una familia de concepciones analogistas y otras anomalistas. Los analogistas tenderían a considerar que hay una unidad semántica de fondo entre todas las categorías matemáticas. Así, en la capa proposicional intentarían buscar un sistema de axiomas o un axioma único (como el de Nicod) para establecer una unidad de las Matemáticas como sistema hipotético-deductivo. Y en el plano objetual, el candidato a desempeñar la función de germen de la categoría matemática sería la noción de conjunto. Bueno ve problemas a estas concepciones analogistas, pues una simple circunferencia no puede ser definida como un conjunto de infinitos puntos que equidistan de uno central, no solo porque tales puntos carecen de un correlato físico, sino porque del concepto de conjunto de infinitos puntos no se deriva el concepto de circunferencia. Hay, añade Bueno, relaciones geométricas o topológicas que se establecen al margen de la teoría de conjuntos.

La TCC de Bueno se adhiere a la familia anomalista, y entiende que las categorías matemáticas no son uniformes, sino anómalas, como también lo son las categorías físicas, químicas o biológicas. Las categorías matemáticas no están dadas eternamente en el Mundo; se construyen dentro a medida que las concatenaciones cerradas van estableciéndose, partiendo de diferentes puntos de cristalización, y dejando fuera lo que no puede incorporarse a esa concatenación.

 
15) ¿Qué ejemplos de identidades se pueden poner en Matemáticas?

Gustavo Bueno (2012: III.12), señala que una manera fértil de avanzar en el análisis de las Ideas de Unidad e Identidad es a través del símbolo de Recorde.

En 1557, Roberto Recorde introdujo el símbolo =, considerando que el mejor símbolo de la igualdad es un par de líneas paralelas o líneas gemelas de la misma longitud, porque no hay dos cosas que puedan ser más iguales [equalle].

Veamos algunos ejemplos, entonces, en los que aparecen identidades propias de las Matemáticas en diversos contextos para, al menos, entender la variedad de situaciones en las que aparece esta Idea y poder concluir que no hay un modo unívoco de identidad sintética en Matemáticas.

El símbolo = de Recorde se usa, por ejemplo, en:

i) La igualdad verdadera de una ecuación, como 2x²=18 para x=3 o bien x=–3.

ii) El Álgebra matemática. En identidades como las llamadas notables:

iii) Las ad-igualdades como las de los límites, por ejemplo, del cociente (25–x²) / (5–x)=10 cuando x tiende a 5. Las ad-igualdades de los límites, que envuelven procesos de divergencia y convergencia (dialéctica procesual, que diría Bueno en 1995a) se presentan también con el símbolo de Recorde: por ejemplo en la integral de Riemann o en las series infinitas; es el caso de aquella famosa que afirma que π/4 = 1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 + ….

iv) Igualdades esenciales (no sustanciales) como las geométricas: la identidad de los ángulos opuestos por el vértice o la de los cuadrados de los catetos que, sumados, se identifican con el cuadrado de la hipotenusa en el teorema de Pitágoras.

v) Correspondencias biunívocas para la igualdad de cardinales. Así, por ejemplo, escribimos que |N|=|Q|, es decir, que la cantidad de números naturales es igual que la de números racionales.

vi) La igualdad de congruencias aritméticas = (módulo k) . Así, por ejemplo, se dice que 6=11=16 (módulo 5). La congruencia es un caso típico de relación de equivalencia (relaciones simétricas, reflexivas y transitivas).

 vii) Las identidades por recurrencia. Como en la inducción matemática.

 
16) ¿Los teoremas matemáticos, y las teorías, pueden entenderse como sistemas?

Tal es la tesis de David Alvargonzález, que recoge y desarrolla la teoría de los sistemas de Gustavo Bueno. Dos son las características definitorias de un sistema (2022: 28-29):

(1) Un todo (configuracional o procesual) en el que hay al menos dos niveles holóticos: las bases del sistema, y las partes de las bases.

(2) El arreglo sistemático entre las bases tiene lugar a través de las partes de las mismas. En el caso de los sistemas científicos los coordinadores son los principios de esas ciencias.

No se deben confundir los sistemas con los conjuntos, los agregados o las estructuras.

Pongamos dos ejemplos para pisar terreno menos abstracto. El primer ejemplo intentará sentar el teorema de Pitágoras como sistema, y el segundo lo hará con los Elementos de Euclides.

Para Alvargonzález (2022: 98-103) el teorema de Pitágoras es un sistema cuyas bases son los triángulos que intervienen en la demostración, así como los cuadrados y rectángulos que construye Euclides. Las partes de esas bases son los lados de esas figuras, las áreas o los ángulos, de modo que en la construcción del teorema podemos apreciar una multiplicidad de ajustes entre esas partes, unos realizados por contigüidad (entre líneas, cuadrados, triángulos, rectángulos) y otros por medio de identidades isológicas (entre líneas, ángulos, áreas, &c.). Aunque cambiemos el tamaño de los lados del triángulo rectángulo o variemos sus ángulos agudos, el sistema de identidades se conserva, de modo que los aspectos subjetivos, fenoménicos de las operaciones se neutralizan (p.99). Podemos añadir que el sistematizador que preside el teorema es la relación a²=b²+c², es decir, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

En cuanto a la geometría de Euclides dice más adelante (p.102), hay una serie de teoremas (el teorema del triángulo diametral, el teorema de Tales, el de Pitágoras, y tantos otros) que tienen partes (rectas, curvas, ángulos, paralelas, &c.); los Elementos tienen unos principios (definiciones, postulados, axiomas) que coordinan esos teoremas a través de sus partes, por ejemplo, el famoso postulado de las paralelas. En cualquier demostración de los teoremas Euclides va apelando a las definiciones, postulados y axiomas en lugares específicos de cada teorema, de un modo tal que los teoremas se coordinan unos con otros.

 
17) ¿Por qué las Matemáticas funcionan?

Preguntado de otra manera: si las matemáticas son primordialmente construcciones ideogramáticas, ¿cómo se explica que encajen con la realidad? ¿Por qué son el instrumento de otras ciencias?

Las matemáticas parten de ideogramas (Lorenzo, 1994), pero eso no significa que la lógica interna de esos ideogramas sea por completo ajena al mundo del que forman parte. Por ejemplo, las operaciones de juntar y separar objetos serían operaciones que son abstraídas por las operaciones aritméticas de sumar y restar. O la de partir distributivamente un todo (por ejemplo, un pan) en partes iguales se ve reflejada en la división. Las rectas son ideogramas de hilos tensos o rayos de luz. En definitiva, los ideogramas y las operaciones que involucran reproducen a otra escala la lógica de regiones del mismo mundo. De ahí que no debe sorprender que el desarrollo teórico matemático devuelva aplicaciones prácticas e incluso insospechadas, y tenga regiones comunes con otras ciencias. Por otra parte, el mundo construido por los hombres está repleto hoy de formas geométricas. Pizarras, hojas de papel, ventanas, volantes, tartas, ruedas. Vemos y tocamos objetos con formas rectangulares, circulares o cilíndricas. Eso ha hecho que nos parezcan naturales las Matemáticas y las tecnologías que envuelven, olvidando su rango institucional y racional.

 
Bibliografía

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