El CatoblepasSeparata de la revista El Catoblepas • ISSN 1579-3974
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El Catoblepas · número 195 · abril-junio 2021 · página 1
Artículos

¿La Geometría de Euclides es una ciencia en sentido estricto?

Sergio Vicente Burguillo

Las operaciones con la prosa gráfica de los Elementos como prototipo de la racionalidad científica

motivo

Introducción

Los Elementos de Euclides constituyen, para Gustavo Bueno, el prototipo de racionalidad científica (cerrada y soberana); y las debilidades que algunos autores (Hilbert, Klein o Puig Adam, entre otros) atribuyen al sistema de Euclides son aparentes, tal es la tesis de este breve ensayo. Ninguno de estos autores habría dado con la esencia de la geometría euclidiana: la prosa gráfica en la que consisten los Elementos (y que suponemos que sí habría encontrado Gustavo Bueno{1}). Por ejemplo, Hilbert mira los Elementos desde su axiomática formalista, evacuando la semántica de los grafos euclidianos.

Este trabajo se divide en dos partes. La primera intenta fundamentar la perspectiva de Bueno de las Matemáticas como ciencias de grafos y se propone una definición de grafo euclidiano. De esta manera se verá que la perspectiva de Bueno es distinta de la de otros filósofos de la ciencia o de otros constructores de geometrías modernas, como Klein, Hilbert o Puig Adam, pues ninguno de estos entenderá que la clave de las Matemáticas esté en la prosa gráfica, en su Noetología, en los diagramas o en las operaciones heteroformantes. Este modo de entender las Matemáticas que tiene Bueno permitirá resolver las aparentes debilidades que los comentaristas han solido atribuir a Euclides. Y a esto se dedicará la segunda parte.

Más en concreto, la segunda parte tiene como objeto mostrar, con algunos ejemplos escogidos, que la geometría de Euclides se construye con fundamentos gnoseológicos sólidos, y que las debilidades que se han visto tradicionalmente en los Elementos son aparentes. Se escogen estos ejemplos y no otros porque son las críticas más habituales vertidas sobre los Elementos. En particular, se verá, primero, que tiene sentido gnoseológico preciso distinguir, como hace Euclides, entre definiciones, postulados y axiomas; y que no es oportuno reducirlo todo a definiciones y axiomas, como hace Hilbert (en su famosa obra Fundamentos de Geometría), eliminando los postulados, al no entender éste su sentido gnoseológico. A continuación, se estudia el caso de la supuesta necesidad de una teoría análoga a la de la continuidad de los números reales: comentaristas como Hilbert o Puig Adam así lo sostienen, pero se verá que esta cuestión también se resuelve “a favor” de Euclides si se atiende a la prosa (a la tinta) de los grafos. Seguidamente, en tercer lugar, se trata la paradoja de Ball, que no se aborda en profundidad, pero que se menciona para reforzar la tesis de que los diagramas euclidianos son imprescindibles y no accesorios. Y, por último, en cuarto lugar, se aborda la famosa cuestión del quinto postulado del libro I, cuya negación ha dado paso a la construcción de las geometrías no euclidianas; en este trabajo se introduce otra novedad, que es intentar entender el postulado euclídeo desde las Figuras de la Dialéctica de Bueno, y dotarlo así de sentido gnoseológico preciso.

En el Final se recogen las conclusiones principales y se dejan líneas de trabajo posibles, dado el lugar privilegiado que, gnoseológica y noetológicamente, tienen los Elementos que cristalizaron en Euclides.

Parte primera
Matemáticas como ciencias de grafos. Definición de grafo euclidiano

«El teorema I.47 de los Elementos de Euclides está demostrado en la forma de un cierre local perfecto y soberano.»{2}

Gustavo Bueno solía poner como ejemplo prototípico de verdad científica el teorema de Pitágoras, tal y como aparece en los Elementos de Euclides (I.47). Representaba para él, según parece, el tipo de verdad que constituyen las ciencias en sentido estricto. Los Elementos son el «prototipo indiscutible de Corpus sistemático científico de todas las épocas»{3}. La afirmación de Bueno de que el teorema de Pitágoras, tal y como aparece en los Elementos, supone un «cierre local perfecto y soberano» puede sorprender a muchos matemáticos y filósofos modernos, que consideran que este libro de Euclides es fundamental en muchos sentidos, pero que no es, sin embargo, ni cerrado ni soberano, sosteniendo implícita o explícitamente la tesis contraria de la que sostuvo Bueno; así, por ejemplo, Luis Vega habla de «rigor informal»{4} y otros consideran que Euclides tiene bases poco firmes, por enumerar algunas: ausencia total de axiomas de orden (Félix Klein); de un principio de continuidad que invalidaría una proposición tan básica como la I.1 (y que, por cierto, Bueno usó como caso de estudio paradigmático en su trabajo “Poemas y teoremas”); la ausencia de un criterio axiomático de congruencia, o dudas sobre el estatuto [gnoseológico] del quinto postulado. Nadie, creemos, hasta Bueno, de hecho, ha sostenido con solvencia su visión de los Elementos.

Aquí se sostiene que las tesis de Bueno son bastante plausibles. Intentaremos ceñirnos a la Teoría del Cierre Categorial, y en particular a las coordenadas del materialismo formalista, que afirma que las Matemáticas son, esencialmente, ciencias de signos gráficos. Las ciencias no tienen objeto, sino un campo de términos y referenciales corporales (capa objetual) sobre los que opera, y establece diaméricamente relaciones terciogenéricas y proposiciones (capa proposicional). La Geometría de Euclides (o mejor, la tradición que cristaliza en él) es una ciencia de signos gráficos, de prosa gráfica{5}, tales como redondeles, triángulos, líneas dibujadas y trazadas en algún soporte corpóreo de tres dimensiones (por definición de cuerpo) pero en el que solo se puede operar en dos dimensiones (arriba/abajo, izquierda/derecha) y que constituyen los contextos determinantes precisos de los Elementos de Euclides. Estos signos gráficos, y estos soportes, no proceden sino de técnicas previas.{6}

La tesis fundamental del presente ensayo, sería, entonces, la siguiente: se puede sostener con sentido preciso que la Geometría de Euclides constituye una ciencia cerrada y soberana, si se entienden las Matemáticas como las entiende el materialismo formalista.{7} Y, además, caminaremos en sentido contrario al del formalismo del grupo Bourbaki con su lema Abajo Euclides. Más bien consideramos, con Alicia Delibes{8}, que los Elementos deberían ser un libro de lectura obligada en la Enseñanza media, tanto por profesores como por alumnos.

Habrá, por tanto, que analizar con mirada de basilisco las tesis que impiden ver en los Elementos el primer ejemplo prototípico de ciencia en sentido estricto. Advertimos que eso no quiere decir que Euclides agote en ningún caso las Matemáticas o la Geometría. Pero tampoco lo hará, ni podrá hacerlo Hilbert ni ningún otro geómetra. Toda tesis en Filosofía, si no es un puro delirio tiene algún fulcro de verdad; también, por supuesto, las que se rechazarán en las líneas siguientes. Y el fulcro de verdad de las tesis que rechazaremos consiste en que hay que dotar a la Geometría de unos fundamentos y métodos concretos, sean los de Hilbert, sean los de Euclides, sean los de Puig Adam. Todos estos procedimientos, que arrojan métodos y resultados distintos, y otros teoremas y problemas, son igualmente científicos (matemáticos), pero sin tener por ello necesariamente ninguno de ellos mayor grado de profundidad, rigor o cientificidad que la geometría que cristalizara en Euclides. En este momento conviene rescatar una tesis de corte ontológico que subyace en estas líneas y que es fundamental en el sistema de Bueno: ninguna ciencia se agota por mucho que se estudie, se trabaje, se roture, desde unos enfoques o de otros. Cuando una ciencia cierra significa que los sujetos operatorios que la construyen pueden neutralizar sus operaciones al llegar a ciertos resultados objetivos (relaciones) que no dependen en modo alguno de la especificidad subjetiva (es decir, que no dependen ni de sus caprichos ni de su biografía); que hay términos, relaciones y operaciones propias (y en ese sentido se puede hablar de soberanía). Pero nunca que la materia tratada se agote: dependerá de los enfoques, de los términos de partida, de los principios (in medias res) que se supongan{9}. Así, por ejemplo, la Física clásica no agota ningún campo, pues siempre caben nuevos resultados, teoremas, verdades. Pero además caben múltiples aproximaciones: Física cuántica, Química, Termodinámica, Física relativista, o Bioquímica. Hay configuradas múltiples categorías científicas con intersecciones, pero con soberanía propia. Esta pequeña glosa de una tesis ontológica capital corresponde en el Materialismo de Bueno a uno de los principales papeles que tiene la Materia Ontológico General (M).

De modo análogo cabe hablar en Geometría: el enfoque de Euclides no es el único posible en Geometría: existe un enfoque algebraico en Descartes, o formalistas en Hilbert, Klein o Puig Adam; hay enfoques precisos en las Geometrías no euclidianas, &c. La aproximación geométrica de Euclides es la que tiene en los signos gráficos, en concreto en sus dibujos singulares (que no idiográficos) de triángulos o circunferencias su sustento principal, de donde salen sus contextos determinados y determinantes. Sin embargo, la geometría de Hilbert o Puig Adam se construye también con términos gráficos (no puede ser de otra manera desde el materialismo formalista), pero no dependen de los diagramas, de los dibujos singulares, en el mismo sentido que depende Euclides, pues el circuito de signos gráficos, apoyados en el Álgebra o en la Aritmética, hacen de los dibujos de triángulos o circunferencias algo secundario, incluso a veces prescindible, pues se sirven de otros circuitos de signos gráficos algebraicos o aritméticos. Es decir, los contextos determinantes de un Hilbert no dependen del dibujo (por mucho que ayude psicológicamente), sino de otro entramado gráfico y proposicional. Nadie en Matemáticas o Lógica formal, ni siquiera Hilbert o su escuela por mucho que quieran, pueden desprenderse del circuito autogórico de los signos gráficos constituidos en los circuitos de operaciones heteroformantes. Un ejemplo breve, para que se entienda por dónde va la distinción de Bueno{10} entre operaciones autoformantes y heteroformantes, y que sirve como criterio de demarcación entre Lógica formal y Matemáticas puede ser el siguiente: consideremos la fórmula [(p → q) ↔ ⌐ (p^ ⌐ q)], aquí las operaciones son auto-formantes, con los signos de la Lógica formal no se sale (y este es el sentido del autos) de las proposiciones de las que se parte de inicio: p y q. Sin embargo, en la fórmula 3a = a+a+a, aparecen totalidades acumulativas (atributivas, en particular), y se forman otros términos distintos del a de partida (el número 3, en este caso), eso significa que la operación es hetero-formante (hetero, que se forma o aparece otro signo, involucrando Aritmética con Álgebra).

Julio Rey Pastor, en su monumental obra en tres volúmenes Análisis matemático, dedica los dos primeros capítulos a fundamentar la Aritmética. Pero en el tercero, antes de pasar propiamente al campo del Análisis matemático, se ve obligado a introducir una teoría algebraica y comienza el capítulo con un estudio de la Combinatoria. Podemos interpretar que para que el Reino del Análisis matemático esté bien fundamentado se precisa de una teoría de las totalidades combinatorias, atributivas, cuya clave en Matemáticas son las operaciones heteroformantes.

David Alvargonzález, por su parte, hace una valiosa clasificación{11} de las ciencias según los términos que aborden en su campo: existirían unas ciencias formales (no hay ciencias estrictamente formales, pero Alvargonzález a veces usa esta acepción por sus ventajas didácticas) que son ciencias de grafos. Son ciencias autorreferentes, donde el momento objetual y proposicional coinciden (aunque se pueden disociar). No tienen otra materialidad que los propios signos tipográficos. Habría otro tipo de ciencias, las llamadas naturales, y otras ciencias no estrictas, que serían las etológicas o la Historia, en cuyo detalle no vamos a entrar. Sí que recogemos su idea de que las ciencias matemáticas son ciencias de signos gráficos. Tesis que en cualquier caso ya se puede encontrar en Bueno desde 1979 en las “Operaciones autoformantes y heteroformantes”, o en 2009, en su “Poesía y verdad”, donde habla de prosa gráfica.

Ahora bien, que haya algo en común, una prosa gráfica, que sea común a todas las categorías de las Matemáticas o de la Lógica formal plantea la cuestión de la unidad y distinción de las propias categorías matemáticas. Gustavo Bueno considera que son categorías anómalas{12}, perspectiva compatible con la de Javier de Lorenzo, y que hacemos extensiva a todas las Matemáticas. Pues no solo en Geometría hay multiplicidad de métodos y enfoques, sino por supuesto en todas las ramas de las Matemáticas. Particularmente importantes son los enfoques de Félix Klein en el siglo XIX. La perspectiva contraria, es decir, suponer que hay un fondo común en todas las categorías sería la tesis que Bueno pretende impugnar (y que se retomará al final del presente artículo). En efecto, suponer que hay una categoría o estructura que absorbe o engloba todas las categorías matemáticas se apoya en bases ontológicas monistas imposibles de sostener con un análisis gnoseológico de las propias categorías matemáticas, como se pretenderá hacer en lo sucesivo.

Por su parte, Carlos Madrid ha elaborado varias clasificaciones gnoseológicas{13} de los distintos enfoques gnoseológicos en Matemáticas según el par materia / forma. Remitimos a sus páginas y solo mencionamos las familias de teorías que desglosa: si se sustantiva la materia y la forma nos encontramos con el Platonismo (Cantor, Hardy, Penrose), Logicismo (Frege, Russell, Círculo de Viena). Si sustantivamos la materia pero no la forma nos encontramos con las teorías descripcionistas de Hilbert, Zermelo, Bernays o el nominalismo fisicalista de Field. En el caso de sustantivar la forma pero no la materia nos encontramos con el intuicionismo de Kant, Poincaré o Brouwer, o con los constructivismos tipo Bishop o Dummett.

El materialismo formalista se situaría dialécticamente en frente de todas las anteriores; no sustantiva ni la materia ni la forma, pues ambas se conjugan diaméricamente. Por ejemplo, en los problemas geométricos se parte de relaciones para construir una figura (sirva como ejemplo la construcción del triángulo equilátero en I.1). Esta figura a su vez se puede usar como término para hallar relaciones de otros teoremas. Forma y materia se entrelazan circularmente. La diferencia con el formalismo hilbertiano es importante destacarla. En Hilbert solo cuenta lo que está escrito, lo que el papel dice, lo que se establece en los axiomas y se sigue de los teoremas. Hasta aquí se podría solapar con el materialismo formalista. La divergencia viene cuando Hilbert pretende arrancar la semántica, el significado, a los propios signos gráficos, y la pragmática de los mismos, haciendo recaer todo el peso gnoseológico sobre la sintaxis. Por eso podemos decir que para Hilbert los signos gráficos son una lengua muerta, y que nada dicen semánticamente para él en cuanto a la textura de las categorías matemáticas. Los signos para Hilbert serían intercambiables por otros cualesquiera, siempre y cuando cumplan los axiomas y definiciones. Daría igual hablar de puntos y rectas que de sillas y mesas. Pues bien, desde el circularismo gnoseológico de la TCC la clave de la geometría euclidiana está precisamente en su prosa gráfica, en las totalidades atributivas que se dibujan, y en las conexiones entre las partes que se van decantando. La sintaxis de Euclides está cargada de semántica, y de pragmática; el tratamiento operatorio de los grafos entra en la misma circulación gnoseológica. Dicho de otro modo, en los procedimientos pragmáticos del uso de grafos euclidianos surgen relaciones en ciertos contextos, relaciones que no son gratuitas ni caprichosas, y que cargan los diagramas de semántica, de significados distintos, entrelazando distintos fenómenos y referenciales fisicalistas. Las conexiones de unas cosas con otras van decantando cierto tipo de términos, operaciones y relaciones que van formando un eje sintáctico. Hilbert -digámoslo con una imagen-, multiplica por cero a los ejes semántico y pragmático. Pero el materialismo de Bueno mantiene vivos los tres ejes, y es capaz de disociarlos, entendiendo que no pueden separarse.

Convendría en este punto aclarar en lo posible el concepto de grafos euclidianos, y el texto de referencia aquí es “Poemas y teoremas”. A falta de encontrar una definición mejor, podemos definir un grafo euclidiano como «una totalidad finita (con ecoentorno{14}), donde las partes se relacionan con el todo de modo atributivo (relaciones de sinexión). Estas totalidades son singulares (no idiográficas, porque cabe dibujar recurrentemente grafos con las mismas relaciones mutuas), y constan esencialmente de esquemas materiales de identidad tales como líneas, triángulos o circunferencias sobre los que se opera en dos dimensiones (solo caben dos direcciones: arriba/abajo, izquierda/derecha), aunque el papel o la pizarra donde se inscriban esos grafos sean obviamente cuerpos (es decir, de tres dimensiones)». Estas totalidades pueden alcanzar el grado de las instituciones holomorfas{15}, como son cada uno de los 465 problemas y los teoremas distribuidos en los 13 libros. O pueden ser instituciones meromorfas, como el trazado de la línea AB para comenzar a hacer el trazado del triángulo equilátero (problema I.1).

Las materialidades de los grafos euclidianos son los propios diagramas, y las relaciones y términos que se van entrelazando a veces funcionan como materia y otras como forma. En realidad, la distinción de materia / forma se borra, y solo en casos concretos, en teoremas o problemas específicos, cabría hablar de componentes materiales (por ejemplo, ciertos términos) y componentes formales (ciertas relaciones que se usan para establecer los contextos determinantes que arrojarán la verdad del teorema en cuestión).

En estas instituciones holomorfas se produce la verdad científica en sentido estricto, y ahí radica la mayor importancia que tienen los Elementos, algo que no se produce en los poemas, pues el equivalente a la segregación del sujeto que se da en los contextos determinantes (fases segunda y sobre todo tercera del circuito noetológico) no se dan en los poemas. En efecto, son conocidas las seis fases de Proclo que Bueno{16} absorbe en sus tres fases del discurso noetológico{17}. Don Gustavo hila más fino.

Las tres fases del circuito noetológico son:

  1. Propuesta (composición-segregación) que incorpora las prótasis y la ekthesis de Proclo.
  2. Contraposición, que incorpora las fases diorismos y kataskaué de Proclo.
  3. Resolución, que incorpora las fases de apódeixis y sympéresma de Proclo.

Este desarrollo lo hace Bueno en Poemas y teoremas y a él se puede acercar el lector. Sí que es importante resaltar algunos puntos de las fases. En la propuesta (fase I) se enuncia el resultado, que expresa una verdad referente a una totalidad distributiva. Por ejemplo: en un triángulo rectángulo cualquiera (se toma esta totalidad distributivamente) la suma de los cuadrados de los catetos es igual (igualdad esencial, congruencia) al cuadrado levantado sobre la hipotenusa. Para demostrar este teorema, Euclides dibuja unos grafos, y estos son ya concretos, y las totalidades sobre las que se opera son ya atributivas, donde se establecerán las relaciones de sinexión. En la fase II, de contraposición, se establecen los esquemas materiales de identidad, contextos determinados, seleccionando ciertas figuras y relaciones (y no usando otras) con el telos del enunciado a demostrar (o construir) presente. Aquí, digamos, se necesita de la pericia técnica del matemático, y cobran importancia los autologismos o dialogismos (eje pragmático) en base a ciertas normas. Por último, en la fase III, de resolución, los contextos determinados se pueden considerar ya determinantes, pues a través de ellos se concretan las relaciones necesarias que dan lugar a la resolución del teorema (o problema). En esta fase se producen una serie de deducciones que lleva a muchos comentadores a hablar de método hipotético-deductivo, pero el proceso es más complejo, como se ve. Se produce entonces una identidad sintética por la confluencia de todos los materiales removidos para llegar a la misma proposición de la que se partía (hay identidad). Es importante insistir en que los grafos euclidianos no son figuras auxiliares, como si solo tuviesen, como mucho, algún tipo de importancia psicológica, o en forma de autologismo. Son realmente esenciales porque es en la inmanencia de los grafos, a través de las tres fases y entre medias de los esquemas materiales de identidad, donde se establecen las relaciones, donde se fundamenta la verdad de la que consta el enunciado de la proposición. Por eso se habla de identidad sintética, porque se necesitan las tres fases noetológicas. La capa objetual (los grafos) y la proposición en cuestión están envueltas, entrelazadas inseparablemente. A menudo se interpretan erróneamente los dibujos geométricos como andamios de los que poder desprenderse una vez prestados los servicios. Es cierto que en la Geometría de Hilbert estos dibujos tienen un papel secundario, porque sus grafos y sus principios son otros, y no dependen como Euclides del trazado de líneas y circunferencias para establecer la verdad de sus teoremas, igual que las identidades notables (pongamos un ejemplo sencillo y a la mano) del Álgebra se pueden demostrar a la manera del libro II de Euclides, pero también operando los términos algebraicamente para demostrar la fórmula sin más que multiplicar dos veces (a+b). Cabe hacerse aquí la reflexión de qué demostración es mejor en el aprendizaje de las Matemáticas. Creo que nadie dudará de que la de Euclides tiene muchas más ventajas didácticas y gnoseológicas.

Parte segunda
Las (aparentes) debilidades de Euclides

A través de cuatro cuestiones, se intentará argumentar que las debilidades que algunos comentaristas encuentran en Euclides son apariencias falaces, y que dependen de su incapacidad sistemática, gnoseológica y noetológica de entender el significado de los Elementos.

1. La cuestión del método: Definiciones, postulados y axiomas

Es uno de los tópicos más comentados. Muchas veces se toma como modelo de ciencia hipotético-deductiva (segundo sentido de ciencia de Gustavo Bueno{18}). Bueno supone, sin embargo, que los Elementos pueden y deben considerarse como ciencia en el sentido tercero, es decir, una ciencia en el sentido estricto, que supondría, entre otras cosas una confluencia dialéctica de los dos primeros sentidos de ciencia; en primer lugar, la ciencia como saber hacer, como técnica, cuyo escenario propio sería el taller; y la ciencia en el segundo sentido, scientia est conclusionis, cuyo escenario propio sería la Academia. Esta tesis de Bueno quedará probada de suyo, como corolario, en este trabajo. Lo que más importa ahora destacar es la pertinencia y finura de Euclides al distinguir entre definiciones, postulados y axiomas. Es habitual entre los comentadores{19} preguntarse por qué Euclides se ve obligado a distinguir entre postulados y axiomas; algo que, por ejemplo, Hilbert evita, hablando solo de axiomas. Tomás Heath{20}, comentando los Segundos Analíticos de Aristóteles, advierte que los postulados serían aquellos principios no probados (por intuitivos) que tienen cierto contenido geométrico. Y que los axiomas serían comunes a otras ciencias. Rechazamos esta perspectiva aristotélica, pues no se puede admitir (salvo en el espiritualismo o mentalismo) que una noción tan vaga, imprecisa y subjetiva como la intuición sea fundamento de las ciencias. Por su parte, los axiomas no son comunes necesariamente a todas las ciencias, pues ni siquiera en algunas partes de las categorías (anómalas) matemáticas se aceptan axiomas como que «el todo es mayor que la parte», por ejemplo, en la Aritmética transfinita de Cantor, y en general en todos los rincones donde estén las estructuras metafinitas{21} como en el Cálculo Infinitesimal.

Ahora bien, ¿cabe dar una interpretación gnoseológica desde la TCC? Parece que sí. El propio Bueno nos da la pista{22}. Según la TCC, toda ciencia cuenta con un cuerpo formado por tres ejes (sintáctico, semántico y pragmático), y dentro de cada eje tres figuras. Pues bien, la TCC supone que los principios de las ciencias no son tales porque sean «evidentes» o porque sean comunes a otras ciencias, sino porque son capaces de reorganizar el campo. Como dice Carlos Madrid{23}: «la axiomática solo es posible si previamente ha habido una fase de manejo operacional del modelo […]. El método genético precede al método axiomático, y permutarlos ofrece la misma ventaja que el robo sobre el trabajo honrado (la axiomática se arroga de inmediato todo lo construido)». David Alvargonzález sostiene una tesis compatible con la de Carlos Madrid, aunque tal vez no idéntica: los principios son los coordinadores (las bases) de los teoremas. «Hace falta un arreglo sistemático de los teoremas, que son los principios que coordinan esos teoremas»{24}. Añade que «[en la TCC] los principios de las ciencias no lo son en un sentido prístino, original […] sino que ser principio significa que ser coordinador de los teoremas», es decir, para que haya principios es necesario que haya previamente una multiplicidad de teoremas, como lo había también en la Física de Newton, cuyos principios aglutinaron multitud de teoremas físicos previos, como el tiro parabólico, caída libre de los cuerpos, &c. Lo mismo hizo Euclides: había teoremas previos, de Tales, de los pitagóricos, &c. que él habría coordinado con sus principios en un sistema, los Elementos. Los principios no sirven de fundamentación, no fundamentan nada que no estuviera ya en los teoremas. Antes había un caos, un desorden, no había coordinación sistemática en todos los teoremas, que Euclides sí logró.{25}

Según todo lo anterior, se puede sostener que las definiciones son los principios de los términos. La definición, por ejemplo, de punto (semeion) no es previa a las operaciones con líneas o triángulos, sino que se define a posteriori, tras haber roturado el campo y haber descartado otras definiciones.

Gustavo Bueno solía decir que la definición de punto como «aquello que no tiene partes» (definición I.1 de Euclides), era metafísica porque no hay nada, decía Bueno, que no tenga partes. Por eso Bueno proponía otra definición, más operatoria, «el punto es la intersección de dos rectas». Esta definición parece impecable, pero trasladamos el problema a las rectas.

Ahora bien, si hacemos caso a Heath{26} resulta que, para Euclides, el punto (semeion), cuando lo refiere a las partes (meros) lo hace en el sentido de «imposibilidad de seguir dividiendo». No sería, por tanto, una definición metafísica, sino también operatoria, dialéctica (figura de la anástasis o incluso de la metábasis{27}).

Es interesante también observar que Euclides usa el término semeion, que será ya fijado en la tradición matemática, y no stigme (marca, punción) que tenía un uso más coloquial (o filosófico, por ejemplo, en Aristóteles cuando no habla técnicamente de Matemáticas). También es importante observar que los pitagóricos al punto lo llamaban monas, es decir, «unidad», y que eso acarreaba connotaciones metafísicas, precisamente monistas, muy acusadas (ver La metafísica presocrática, de Bueno, en la que ahora no podemos entrar). También merece la pena comparar el semeion euclídeo con las definiciones modernas (Pasch, Veronese, Enriques o Hilbert) donde se renuncia a dar alguna noción que envuelva algún contexto semántico ajeno a la propia definición.{28}

Por otra parte, Bueno, en su artículo “Conceptos conjugados{29} habla de que el par de conceptos punto / recta serían conjugados, pero ojo, en el contexto de la Geometría proyectiva; donde, en efecto, el principio de dualidad es fundamental, pero no es un principio que contemple Euclides.{30}

Es importante también subrayar que con estas definiciones Euclides es ajeno al campo de la metafísica presocrática (por ejemplo, de los pitagóricos), o de la filosofía platónica, en lo que tiene de místico (ideas que resuenan en la cosmología de Kepler con los poliedros regulares). En general, la geometría de Euclides se aleja de las alegorías.{31}

Otra definición destacable es la de círculo (I.15) que remite a las simetrías del mismo (nótense las reminiscencias de la cosmología de Anaximandro), y que será el esquema material de identidad y el contexto determinante más importante, junto, tal vez, al triángulo isósceles en la geometría euclidiana.

En cuanto a los postulados, son principios de cierre de operaciones. Los tres primeros se formulan con verbos en infinitivo: trazar, describir, prolongar, con lo que la vinculación con las operaciones es directa. Ahora bien, no sucede así con los postulados cuarto y quinto. El quinto postulado se verá en otro apartado. El cuarto dice: «todos los ángulos rectos son iguales entre sí». ¿Qué principio de operación hay aquí? Euclides estaría suponiendo implícitamente la operación de los movimientos rígidos (que, por cierto, serían la clave de la geometría euclidiana para Félix Klein, nada menos). Dados dos grafos cualesquiera en los que se presenten dos ángulos rectos, se superponen si montamos uno encima del otro (por ejemplo, si los dibujamos en una cartulina y los cortamos). Estas aclaraciones, dicho sea de paso, sirven para contestar a aquellos intérpretes que suponen que en Euclides no hay un principio de superposición explícito. Y que, en cualquier caso, es solidario del axioma «el todo es mayor que la parte» del que se hablará a continuación.

En cuanto a los principios de las relaciones, los axiomas, se puede decir que son nudos aplicables a todos los grafos euclidianos tal y como han sido definidos más arriba.

El primer axioma, que podemos llamar «axioma de transitividad» (identidad esencial) establece que «dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí». Traducido a nuestras coordenadas, quiere decir que dos grafos que tengan una identidad esencial con un tercero serán iguales (es decir, con identidad esencial) entre sí. La noción de igualdad, tan abstracta en general, hay que ponerla en relación con las congruencias o superposición de figuras, valga lo dicho más arriba sobre el cuarto postulado.

El axioma quinto «el todo es mayor que la parte» se cumple siempre que solapemos, superpongamos, mediante un movimiento rígido, un grafo con otro mayor del que forma parte. Véase, por ejemplo, la demostración del teorema I.6 (recíproco del I.5, pons asinorum), que establece que, si en un triángulo hay dos ángulos iguales, entonces los triángulos serán isósceles. Este axioma, por cierto, es la negación misma de la definición de las estructuras metafinitas{32}. Esto no quiere decir que la dialéctica sea ajena a los Elementos, pues aparece continuamente. Ya hemos hablado de la definición de punto, pero cabe también señalar los razonamientos por reductio ad absurdum, la figura de la metábasis, que aparecerá, por ejemplo, en el quinto postulado, como se verá, o la cuestión de los inconmensurables del libro V, donde la dialéctica cobra mayor fuerza.

No es este el lugar para extenderse en el análisis de los axiomas, pero sí se pueden dar un par de apuntes gnoseológicos relativos a los axiomas segundo y tercero. «Y si se añaden cosas iguales a cosas iguales, los totales son iguales». Esta relación es claramente consecuencia de las operaciones que Bueno llamaba téticas, de composición. Y lo mismo podemos decir sobre el tercer axioma, cambiando tético por lítico.

Una de las muchas conclusiones que cabe hacer antes de terminar este punto es que Hilbert, al hacer descansar los fundamentos de su Geometría exclusivamente en sus cinco grupos de axiomas y en las definiciones, está reduciendo el eje sintáctico a dos figuras al eliminar los postulados, que son los principios de las operaciones, como ya se ha dicho. De este modo vemos que Euclides es más sólido incluso que Hilbert, si comparamos ambos autores desde la gnoseología de Bueno. Quedaría demostrado, en particular, que Hilbert resulta más formalista, es decir, menos constructivista, que Euclides.

2. Intersección de líneas

¿Es necesario dotar a la Geometría de una base aritmética como la de los números reales para que sea verdadero o válido el problema I.1?

motivo

Una de las primeras objeciones{33} que se suele hacer al sistema euclídeo es que en la construcción del problema I.1 no puede asegurarse la intersección de los dos círculos que darán lugar al contexto determinante del triángulo equilátero que se quiere construir. Así, dice Hartshorne{34} que, si tomamos (ver figura) en el plano cartesiano (aquí estará la trampa), las circunferencias de radio uno con centros, respectivamente, en (0,0) y en (1,0), que entonces tales circunferencias se cortarán en (1/2, √3/2), que sería un punto irracional. La trampa, o la confusión de esta supuesta objeción, está en ver la geometría euclidiana desde la geometría cartesiana, o peor, desde la de Hilbert, que parece leer I.1 desde su grupo V de axiomas (que tienen que ver con la continuidad de los reales, y cuya fundamentación es más de dos mil años posterior a Euclides). Es importante detenerse aquí, pues Hilbert está pensando de algún modo en involucrar la Aritmética ya consolidada desde Cantor, Dedekind, Weierstass o Peano, incluyendo a los números reales, en la geometría formalista que está asentando. Pero Euclides no tiene esa perspectiva, sino que está tratando con grafos, con manchas de tinta (o de arena), que se cortan, intersecan, se encuentran, al trazarlos en el soporte bidimensional correspondiente. La geometría formalista de Hilbert no precisa del contexto determinante euclidiano de las circunferencias intersecadas, sino de otros supuestos y de otros grafos. De hecho, llegar a la conclusión de que no se cortan dos circunferencias implica que entre el campo de los referenciales Hilbert no cuenta con los redondeles, sino con los axiomas de la continuidad de los reales y otros signos autogóricos y otras definiciones, lo que le lleva a concluir que el gráfico de los redondeles (que para él sí que es auxiliar) es engañoso, pues está dotando a la Geometría de unos principios distintos de los de Euclides. La trampa será entonces dejarse engañar por el sistema y la perspectiva de Hilbert, si es que alguien reclama para Euclides (con terrible anacronismo y sin claridad gnoseológica) el punto de vista del propio Hilbert, sentado en una plataforma dos mil años posterior.

Alguien podrá objetar, todavía, que entonces por qué Euclides en el libro V establece un empeño similar al de la continuidad de los reales con su teoría de los inconmensurables, a lo que habrá que responder que Euclides ya conocía los segmentos (no números propiamente) inconmensurables, y que en el libro V lo que hace es dotar a su Geometría de una base estable para poder comparar segmentos (sean estos conmensurables o no) y poder fundamentar teoremas de semejanza de triángulos que constituyen el libro VI. Aquí es importante volver a la cuestión de por qué Euclides no se conforma{35} con demostrar el teorema de Pitágoras como corolario del VI.8, que es mucho más sencillo y rápido (y en Matemáticas se consideran preferibles las demostraciones más cortas): es precisamente porque no parece querer depender de la teoría de los inconmensurables. Se puede sostener como tesis que el telos del libro I de Euclides es demostrar el teorema de Pitágoras (I.47) por un camino que no sea el de VI.8, pues como queda dicho supone ya la doctrina de los inconmensurables (libro V).{36}

3. Orden. Paradoja de Ball

Esta cuestión en la que no vamos a entrar en detalle se resuelve fácilmente con lo que ya se lleva dicho. Para deshacer la supuesta paradoja{37} basta con partir de un triángulo escaleno e intentar dibujar la bisectriz y las dos perpendiculares requeridas: se verá que es imposible no quebrar la bisectriz para llegar a la contradicción de que el triángulo escaleno en realidad es isósceles. Dicho de otra manera, cabe defender la posición de Euclides porque jamás se encontró un grafo, un triángulo (porque es imposible de dibujar) donde se dieran las condiciones, y que constituirían el contexto determinante, para llegar a la contradicción o paradoja.

4. Quinto postulado. Postulado dialéctico. Metábasis

motivo

Sobre el V postulado se han vertido ríos de tinta. A continuación, se intentará arrojar algo de luz desde sistema de Bueno, mediante las figuras de la dialéctica. «En cualquier caso, la estrategia de la dialéctica será siempre la misma: la estrategia de la cancelación de la contradicción, precisamente porque la contradicción es lo que no puede mantenerse, lo que tiene que desaparecer, «fluir», moverse (y esto no implica la recíproca, a saber, que todo lo que se mueve, envuelva una contradicción formalizable){38}». La propuesta es que Euclides evitaría la contradicción mediante la figura dialéctica de la metábasis.{39}

En primer lugar, cabe hablar de postulado por su naturaleza operatoria, ya que este postulado, según lo interpretamos, tiene que ver con el trazado sucesivo de rectas (en la figura: las «t») que van formando con las rectas fijas «s» un ángulo α cada vez mayor (mientras, los β se mantiene con valor fijo, constante). Resulta entonces que hay un momento en el que ya nos salimos del grafo (líneas punteadas). Como tampoco caben grafos infinitos o de trazado indefinido (recuérdese que hemos definido el grafo euclidiano como una totalidad finita con ecoentorno) hay que hacer un paso al límite, traspasar el género, y suponer que conforme los α y β se van acercando a sumar dos rectos, entonces el grafo no se puede trazar por grande que fuere, se nos sale en algún momento del papel (o arena o pizarra); es decir, en el límite, las rectas t y r no se cortarán en ningún tipo de grafo posible. Es aquí donde aparece la contradicción que toda estrategia dialéctica debe evitar. Es decir, la contradicción aparece en el momento de advertir que no se puede construir un grafo infinito si α y β suman dos rectos, y tampoco es posible trazarlo (por las limitaciones del soporte bidimensional finito), cuando la suma de los ángulos se va acercando al valor de dos rectos. Entonces se postula que las rectas deben cortarse precisamente por ese lado, por el que suman menos de dos rectos (por el lado de α y β), aunque no se pueda completar el trazo (sino, como mucho, con líneas punteadas). Como corolario del V postulado, si en los dos lados α+β suman exactamente dos rectos, entonces las rectas t y r deben ser paralelas (ver figura). Aquí Euclides estaría ejercitando la figura de la metábasis. Es decir, en un proceso en el que los grafos la suma de los ángulos es cada vez mayor (progressus, evolución) se produce un momento de divergencia: si los ángulos suman dos rectos ya no se puede trazar el grafo donde t y r se corten; esa divergencia, ese salto o paso al límite es lo que se conoce en el sistema de Bueno técnicamente como metábasis, toda vez que Euclides lo que está haciendo es salvar ese proceso evolutivo de divergencia mediante un postulado. Esa es su manera de salvar la contradicción, o mejor, de no caer en ella. Pero es perfectamente posible evitar la contradicción por otras vías, esto es, aplicar otras estrategias dialécticas, y no introducir este postulado. Es por eso por lo que se pueden construir las llamadas geometrías no euclidianas (hiperbólicas: infinitas paralelas por cada punto, o esféricas: no hay paralelas). Como ya se ha dicho, en Matemáticas caben multitud de enfoques, técnicas y métodos, y ninguno agota la materia o zanja definitivamente nada. La Materia (M), pluralidad infinita, impide esa posibilidad. La geometría euclidiana, sencillamente, se usa en contextos determinantes planos, bidimensionales; pero, por ejemplo, la geometría esférica, donde los contextos determinantes son otros, forman distintos resultados, que se aplican a la Astronomía u otros campos. Asimismo, la Teoría de la Relatividad se basa en Geometrías riemannianas, y así sucesivamente. Esto no quiere decir que en las ciencias no haya verdades o nudos fijos, precisamente porque son los esquemas materiales de identidad, y los contextos determinantes, los que aseguran, o permiten, establecer ciertas verdades. Lo que ocurre, sencillamente, es que si se cambian los contextos determinantes (del plano euclidiano a la esfera no euclidiana, v.g.) cambian los términos, las operaciones y relaciones (y el plano semántico y pragmático) y con ello los teoremas (entramados de identidades sintéticas) que se establecen.

Por todo ello, no cabe decir que la estrategia de Euclides sea gratuita, o no racional. Precisamente está usando una estrategia dialéctica, y por eso plenamente racional. Las Matemáticas (y la Ontología) están repletas de entramados dialécticos: cancelación de la contradicción por la reducción al absurdo (que Euclides usa a menudo en sus demostraciones), la definición de punto (semeion) de la que ya se ha hablado. La figura de la metábasis en el V postulado. Las figuras de la catábasis{40} en los inconmensurables (desde el libro V), o el famoso método exhaustivo, que será la idea clave para el desarrollo de la teoría de las áreas del libro XII, o después en el cálculo de áreas de Arquímedes o en la integral de Riemann. No digamos ya en la matemática de los últimos siglos, donde la dialéctica constituye uno de los motores fundamentales de progreso matemático: la Aritmética (construcción de los naturales, enteros, racionales, irracionales, reales, complejos), el Cálculo Infinitesimal o la Aritmética transfinita de Cantor.

Conclusiones. Final

Se ha intentado probar que la Geometría de Euclides es una ciencia en sentido estricto, y que es totalmente afín a lo que Bueno ha ido diciendo a lo largo de su obra, como también se ha intentado argumentar. Para ello, se ha ofrecido, en la primera parte, una definición de grafo euclidiano, y se ha aplicado la gnoseología de Bueno para entender la construcción interna de los Elementos. Se ha intentado demostrar, asimismo, en la segunda parte, que las debilidades que otros autores han puesto en Euclides son aparentes. Es más, se ha intentado demostrar que la Geometría de Euclides puede ser incluso más potente que la de Hilbert, al menos en algunos tramos, por ejemplo, al comprobar que Euclides distingue definiciones, axiomas y postulados; y Hilbert no habla de estos últimos, incapaz de integrarlos en su sistema debido a su excesivo formalismo. Además, se ha ofrecido una novedosa manera de entender el sentido del quinto postulado a través de las figuras de la dialéctica de Bueno, intentando arrojar algo de luz en un tema sobre el que se han vertido ríos de tinta en la tradición filosófica y matemática.

Muchas cosas quedan pendientes, y serán abordadas en el futuro (aunque no exista en acto, sí como plan o prolepsis). Por ejemplo, el tema de la teoría de las áreas: hay quien dice que la teoría de las áreas (de las que depende entre otras cosas el teorema de Pitágoras) es débil porque no cuenta Euclides con una teoría parecida a la moderna de las integrales de Riemann. Queda pendiente un análisis minucioso del teorema de Pitágoras, seguramente el más importante de toda la obra. También el análisis, mediante la teoría holótica, de las demostraciones de los Elementos. También se podrían abordar cuestiones del llamado Álgebra geométrico del libro II. O profundizar en la distinción de problemas y teoremas.

Parece, en resumen, que los Elementos son una plataforma privilegiada para estudiar y desarrollar la Gnoseología que empezó a construir Bueno. No en balde, para él era el prototipo de corpus científico y el teorema de Pitágoras el prototipo de cierre local perfecto y soberano. Una posibilidad más ambiciosa sería reescribir los Elementos, anotando la obra y comentándola desde la Filosofía de Bueno. Algo así como lo que hizo Heath, pero en español y con la base firme del Materialismo filosófico. Y entonces se podría recoger el lema platónico nadie entre aquí que no sepa nada de Geometría y de sus implicaciones gnoseológicas.

Otro de los temas a abordar sería el de la pertinencia de los Elementos en la Enseñanza media, y ponerlo en relación con los planes de estudio del último siglo y los resultados académicos, psicológicos o sociológicos de los alumnos en distintos países.{41} Parece que el formalista Abajo Euclides ha fracasado rotundamente, y habría que sacar consecuencias. Euclides no es una lengua muerta, aunque algunos lo hayan considerado así. Por ejemplo, en España, desde la ley de Educación de 1970{42}, Euclides ha desaparecido del currículo escolar. Desde luego, el que esto escribe, es un firme defensor de abrir este debate{43} y de defender enérgicamente un ¡Arriba Euclides!

Bibliografía comentada

David Alvargonzález, “La clasificación de las ciencias desde la filosofía del cierre categorial”, Revista de Humanidades, 37, 2019, págs. 99-126. [Tienen gran interés sus lecciones en la EFO de los últimos años.]

Benno Artmann, Euclid. The creation of Mathematics. Springer, Nueva York 1999. [Esta es seguramente la mejor obra para el lego que quiera aprender Matemáticas a través de los Elementos y algunas cuestiones que estos abren.]

Gustavo Bueno, “Las estructuras metafinitas”, Revista de Filosofía del Instituto Luis Vives, Madrid, 1955.

Gustavo Bueno, “Conceptos conjugados”, El Basilisco, n° 1, 1978.

Gustavo Bueno, “Operaciones autoformantes y heteroformantes. Ensayo de un criterio de demarcación gnoseológica entre la Lógica formal y la Matemática” (I) y (II). El Basilisco, n° 7 y 8, 1979.

Gustavo Bueno, Teoría del Cierre Categorial, 5 vols., Pentalfa, Oviedo 1992-93.

Gustavo Bueno, “Sobre la Idea de Dialéctica y sus figuras”, El Basilisco, 2ª época, n° 19, 1995, págs. 41-50.

Gustavo Bueno, ¿Qué es la Ciencia?, Pentalfa, Oviedo 1995. [Imprescindible opúsculo. Disponible en línea, como casi toda la obra de Bueno aquí comentada.]

Gustavo Bueno, “Las Matemáticas como disciplina científica”, Ábaco, n° 25/26, 2000, págs. 48-71.

Gustavo Bueno, “Poemas y teoremas”, El Catoblepas, n° 88, 2009.

Gustavo Bueno, “Poesía y verdad”, El Catoblepas, n° 89, 2009.

Alicia Delibes Liniers, La gran estafa. El secuestro del sentido común en la Educación, Alegoría, Jaén 2012.

Euclides, Elementos, 3 vols., Gredos, Madrid 1991. [La mejor edición que se puede encontrar en español. La edición de Simson, a la que le faltan los libros VII-X y XIII también es buena. En la introducción de Luis Vega se pueden encontrar multitud de notas bibliográficas.]

Robin Hartshorne, Geometry: Euclid and Beyond, Springer, Nueva York 2000.

Sir Tomás Heath, Euclid, The Thirteen books of The Elements, 3 vols., Dover, Nueva York, edición de 2019. [Es sin duda la edición más completa, y de referencia, para todos los estudiosos de Euclides. Allí se citan multitud de otras ediciones, y allí remito.]

Javier de Lorenzo, Introducción al estilo matemático, Tecnos, Madrid 1971. [Las obras de Lorenzo son compatibles en muchos puntos a los aquí defendidos.]

Carlos Madrid, “¿Qué son las Matemáticas? La respuesta de la Teoría del Cierre Categorial”, revista Berceo, Logroño 2018, págs. 163-184. [Carlos Madrid tiene multitud de obras, lecciones y artículos relacionadas con filosofía de la ciencia, desde la perspectiva del cierre categorial, que merecen estudiarse, y que pueden encontrarse fácilmente en Internet.]

Carlos Madrid, Hilbert, las bases de la matemática, RBA, Barcelona 2013.

Luis Carlos Martín Jiménez, Filosofía de la técnica y de la tecnología, Pentalfa, Oviedo 2018.

Pedro Puig Adam, Curso de Geometría métrica, I, Madrid 1952.

Julio Rey Pastor et alia, Análisis Matemático, Kapelusz, Buenos Aires 1969 (octava edición), 3 vols.

José Sánchez Tortosa, El culto pedagógico. Crítica del populismo educativo. Akal, Madrid, 2018. [Ver “Delenda est Paedagogia. Nación Española y Educación”, EC 187:3, para la corriente antipedagógica].

——

{1} A partir de ahora, cuando se lea TCC se entenderá la filosofía de la ciencia tal y como la ha desarrollado Gustavo Bueno y su Escuela. Hay otras veces en las que se cita la obra Teoría del Cierre Categorial, que también irá con las mismas siglas.

{2} Gustavo Bueno, “Las Matemáticas como disciplina científica”, 2000, pág. 68.

{3} TCC p.134.

{4} En su Introducción a la edición de los Elementos de Gredos.

{5} Expresión feliz que usa Bueno en “Poesía y verdad”.

{6} Ver el respecto el imprescindible libro sobre Filosofía de la técnica y de la tecnología de Luis Carlos Martín Jiménez. Tesis fundamental de la TCC es que todas las ciencias vienen de técnicas previas.

{7} Se intentará rectificar todas y cada una de las tesis que Luis Vega introduce en las págs. 56-57 de su introducción en la edición de los Elementos de Gredos, que consideramos equivocadas o sesgadas:

«Las dificultades para ver en los Elementos un espécimen axiomático crecen si recordamos su composición teórica y metódica relativamente heterogénea. Un supuesto clásico de la axiomatización de un cuerpo de conocimientos es su homogeneización como un conjunto de enunciados cerrado bajo la relación de consecuencia lógica. Pero en la composición de los Elementos no sólo cuenta esta alineación deductiva de los sucesivos problemas y teoremas; no sólo se trata de hacer saber tales o cuales resultados. También tienen particular importancia las construcciones diagramáticas y el entrenamiento en ciertos métodos; también se trata de saber hacer, de verificar con los objetos y las figuras geométricas una especie de «experimentos mentales» cuyo éxito viene garantizado por unas condiciones de construcción determinadas. […]

En principio, cabría entender estos defectos como fallos o descuidos circunstanciales: también Euclides se nos duerme a veces. Pero si se toman en cuenta los aspectos antes considerados, estas deficiencias acusan más bien limitaciones del tipo de «axiomatización» sui generis que presentan los cuerpos más sistemáticos del tratado. No parece casual, en el marco de la estrategia deductiva de los Elementos, el hecho de pasar por alto un postulado que prevea la existencia de puntos de intersección de rectas con círculos, y de círculos con círculos, cuando es una existencia dada en su misma construcción diagramática y esta disposición diagramática no sólo es un medio de representación sino que además puede funcionar, llegado el caso, como un medio tácito de inferencia. Tampoco será casual la ausencia de unos supuestos de orden en la teoría de la proporción y de unos supuestos operacionales en la aritmética, si no hay un concepto general de magnitud, ni hay un concepto general de número, ni hay una conceptualización expresa de ciertas relaciones básicas como, sin ir más lejos, la de medir-a o ser-medido-por. En suma, estas y otras deficiencias por el estilo no parecen revelar tanto la inconsciencia o falta de lucidez del bueno de Euclides como una limitación interna de los propios Elementos: falla en ciertos momentos el nivel requerido de abstracción y de conceptualización, y falta en general una perspectiva estructural axiomática. Así pues, no creo que los Elementos constituyan una muestra cabal del método axiomático.»

{8} La gran estafa, págs. 226 ss.

{9} Es inevitable acordarse aquí de las obras del matemático y filósofo español Javier de Lorenzo.

{10} Gustavo Bueno, “Operaciones autoformantes y heteroformantes”, sobre todo el segundo artículo. Ver también el efectivo Diccionario filosófico de Pelayo García Sierra.

{11}La clasificación de las ciencias

{12} La Matemática como disciplina científica, págs. 70-71.

{13} ¿Qué son las Matemáticas?, págs. 167 ss.

{14} Gustavo Bueno, “Algunas precisiones sobre la idea de holización”, El Basilisco, n° 42, pág. 24. 

{15} “Poemas y teoremas, I.”

{16} “Poemas y teoremas, II.”

{17} Así como absorbe dialécticamente las fases hegelianas (tesis, antítesis, síntesis) o el silogismo aristotélico (dos premisas y conclusión).

{18} Gustavo Bueno, ¿Qué es la Ciencia? I. 4. (2) «En segundo lugar reseñaremos el concepto de ciencia como “sistema ordenado de proposiciones derivadas de principios”. Esta acepción de ciencia sólo puede aparecer, obviamente, en un estado del mundo –en una cultura– en la que exista escritura, debate, organización lógica de proposiciones: aproximadamente es el concepto de ciencia que Aristóteles expone en sus Segundos analíticos, tomando como modelo a las construcciones geométricas de Teudio y otros geómetras. Un concepto que se generalizó muy pronto, por los escolásticos, a sistemas de proposiciones que se ordenan en torno a principios pero no ya sólo geométricos sino también teológicos o filosóficos: scientia est conclusionis.»

{19} Véase la edición de Tomás Heath, vol. I, págs. 117 ss.

{20} Ib.

{21}Las estructuras metafinitas”, págs. 241 y ss.

{22} ¿Qué es la ciencia? III, 9:

«Desde la perspectiva del eje sintáctico, los principios dados en el eje semántico podrán distinguirse como principios de los términos, principios de las relaciones y principios de las operaciones.

Los principios de los términos son los mismos términos “primitivos” del campo en tanto están enclasados y protocolizados. Los “principios de los términos” no son meramente conceptos o definiciones nominales o símbolos algebraicos, sino los términos mismos (los reactivos “titulados” de un laboratorio químico, los fenómenos ópticos analizados y “coordenados” que se registran en el radiotelescopio, en cuanto principios de la Astronomía). Los principios, en efecto, no tienen por qué presuponerse como si estuvieran dados de modo previo a la ciencia. Ellos son algo interno y dado en el campo de la ciencia, in medias res. De este modo el término “principio” alcanzará un sentido similar al que tiene en Medicina, por ejemplo, donde se habla de un “principio activo” (“el ACTH es el principio activo de muchos fármacos destinados al tratamiento de la enfermedad de Addison”); un principio que, por sí sólo, no actuaría ni podría ser administrado. Un esquema material de identidad, en torno al cual cristalice un contexto determinante, será también un principio (por ejemplo, la circunferencia podrá considerarse como un principio de la Geometría).

Los principios de las relaciones podrían coordinarse con los axiomas de Euclides, y los principios de las operaciones con sus [62] postulados. Habría una cierta base para reinterpretar con sentido gnoseológico (no meramente epistemológico) la distinción tradicional entre axiomas y postulados».

{23} Carlos Madrid Casado, Hilbert, las bases de la matemática, págs. 164-166.

{24} David Alvargonzález. Las ciencias como sistemas y los sistemas filosóficos (1h 26m) Lección en la EFO, Oviedo, 2016.

{25} Ib.

{26} págs. 155 ss.

{27} Luego se hablará de las figuras de la dialéctica para hablar del famoso quinto postulado.

{28} Heath, pág. 157.

{29} págs. 88-92.

{30} Otra cuestión más que se puede suscitar es la de comparar esta definición de punto que abre los Elementos con la definición de Causa sui que abre la Ética. Vidal Peña interpreta esta definición también como “dialéctica”, y no “metafísica” al igual que se ha intentado sugerir en estas líneas para el punto euclídeo.

{31} Ver Poesía y verdad, 13.

{32} Op. cit., pág. 241.

{33} Es la primera objeción que se puede leer en la edición de los Elementos de Gredos. Edición excelente, por otra parte, y cuya traducción se ha seguido aquí cuando se citan los Elementos.

{34} Pág. 30.

{35} Gustavo Bueno, Poemas y teoremas, 2.

{36} Para profundizar en esa tesis, se puede hacer una triple división en las proposiciones del libro I: 1-26 (congruencia de triángulos); 27-34 (paralelas); 35-48 (áreas y teorema de Pitágoras), de modo tal que cada uno de los bloques necesita el anterior.

{37} Véase, por ejemplo, el libro de Puig Adam, Geometría métrica, I, pág. 23.

{38} “Sobre la Idea de Dialéctica y sus figuras”, pág. 46.

{39} Ib. pág. 48.

{40} “Sobre la Idea de Dialéctica y sus figuras”, pág. 48.

{41} Las obras de José Sánchez Tortosa a este respecto son fundamentales.

{42} La gran estafa, pág. 231.

{43} Junto con personalidades tan señaladas como Alicia Delibes en su obra La gran estafa.

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