El Catoblepas · número 183 · primavera 2018 · página 2
Respuesta a un crítico de la teoría del cierre
Carlos M. Madrid Casado
Se da respuesta a las preguntas planteadas por Sergio Vicente Burguillo y se diagnostican como teoreticistas sus coordenadas gnoseológicas
Tras la lección ¿Qué es la filosofía? La teoría del cierre categorial aplicada a las matemáticas, que pronuncié el lunes 5 de marzo de 2018, en la Escuela de Filosofía de Oviedo instituida por la Fundación Gustavo Bueno, y donde daba contestación a ciertas críticas dirigidas con anterioridad por Sergio Vicente a la teoría del cierre, el propio Sergio Vicente volvió a reiterar estas críticas en el Diálogo Filosófico celebrado en Madrid el miércoles 7 de marzo, lo que motivó un enconado debate entre Sergio Vicente (y David Alvargonzález, in absentia), por un lado, y Luis Carlos Martín Jiménez, Iván Vélez y yo mismo, por otro.
Sergio Vicente ha puesto por escrito esas seis críticas, que acaban de ser publicadas por El Catoblepas, y corresponde dar respuesta a las mismas, aunque las respuestas que vamos a dar no se mueven ni un milímetro de lo que expresamos en nuestra lección en la EFO y en el posterior Diálogo Filosófico. Intentaremos, no obstante, aquilatar las explicaciones y los ejemplos, buscando una mejor comprensión de nuestros argumentos. Como colofón, procederemos a diagnosticar las coordenadas gnoseológicas que subyacen a los planteamientos de Sergio Vicente, y que, dada la gran cantidad de “puntos de fricción” que mantienen con la teoría del cierre categorial de Gustavo Bueno, nos hacen sospechar que su autor se mueve en una concepción teoreticista (formalista) de las ciencias y, en especial, de las matemáticas.
1. Identidades sintéticas en las matemáticas
Sobre este tema, Sergio Vicente comienza su nota acusándome de incurrir en un claro lisologismo por defender la teoría de la verdad como identidad sintética del materialismo filosófico; porque, claro, no he podido revisar todos los teoremas matemáticos habidos y por haber para comprobar que efectivamente consisten en la convergencia de dos o más cursos operatorios. Entiendo que él, para no incurrir en lisologismo alguno (suponiendo que defender una teoría de la verdad lo fuese), no defiende ninguna teoría de la verdad en concreto o defiende múltiples, una en cada ocasión que se presente. Esta posición puede ser todo lo morfológica que guste, pero no permite avanzar un paso en el análisis gnoseológico –ligado a la verdad– de las ciencias.
Por otra parte, cuando me acusa de que “con dos ejemplos no se demuestra nada”, olvida la potencia que tienen los análisis gnoseológicos especiales; porque, por decirlo con palabras de Gustavo Bueno:
“Es en virtud de la doctrina de la verdad como identidad sintética por lo que la teoría del cierre categorial se opone a las otras tres familias de teorías de la ciencia: descripcionismo, teoreticismo y adecuacionismo. La mejor manera (por no decir la única) de determinar con alguna precisión estas diferencias es contrastarlas en situaciones o en procesos concretos (matemáticos, termodinámicos, químicos…), tratando de establecer las diferencias de análisis y de interpretación que las diversas teorías de la ciencia pueden ofrecer de estos mismos procesos o situaciones.” (¿Qué es la ciencia?, Pentalfa, Oviedo, pp. 65-66, subrayado nuestro.)
Es de agradecer que Sergio Vicente conceda, no obstante, que en los dos ejemplos concretos que analizo (el cálculo del área del círculo y el teorema de Pitágoras) estamos ante verdades como identidad sintética. Digo esto porque, a tenor de los comentarios que viene realizando desde 2014, pareciera que sólo habría identidades sintéticas en matemáticas allá donde interviniese el cálculo infinitesimal. Lo que no es el caso en el teorema de Pitágoras, que nada tiene que ver con infinitésimos o procesos de paso al límite. Y, sin embargo, en él confluyen dos cursos operatorios independientes, como demostré en la lección. Del mismo modo, en las demostraciones por inducción, que tampoco tienen que ver con el análisis matemático, también confluyen dos cursos: un curso ‘horizontal’ ligado al desarrollo de la fórmula que desea probarse y un curso ‘vertical’ ligado al paso de n a n+1 (Julián Velarde, “Teoría del cierre categorial aplicado a las matemáticas”, Revista Meta, 1992, p. 126).
Pero Vicente vuelve a la carga: “si Carlos Madrid dice que en todas las identidades de las matemáticas aparece esa convergencia deberá demostrarlo, no poner dos ejemplos”. Esta afirmación pone de manifiesto, como ya hemos apuntado, que el autor desconoce lo que significa defender una teoría filosófica de la verdad (quizá porque, como los teoreticistas, prescinde de la verdad en ciencia o sustenta que hay múltiples teorías de la verdad, en una suerte de anarquismo metodológico). La teoría de la verdad como identidad sintética se defiende en ejercicio, diseccionando ejemplos concretos, más que en representación. Precisamente por ello daba en mi lección una pista para buscar en situaciones concretas los dos cursos operatorios que convergen: si el teorema matemático toma la forma A = B, búsquese el curso operatorio que conduce a A y el curso operatorio que conduce a B (una observación, sugerida por las reverse mathematics, a la que Vicente no presta atención).
Poco después, Vicente parece que va a ofrecernos por fin un contraejemplo, esto es, un teorema matemático que no podría descomponerse bajo el prisma de la identidad sintética. Sin embargo, él, tan enemigo de lisologismos, no nos ofrece un contraejemplo concreto, morfológico, sino una lista de lavandería: “en las demostraciones por ‘reductio ad absurdum’ tan propias de la topología, por ejemplo, ¿hay dos cursos operatorios (heterogéneos e independientes) que convergen? Parece difícil sostener eso”. A su juicio, continúa, “en las demostraciones por reducción al absurdo hay un solo curso que, al colapsar, hace que la tesis de partida sea verdadera”.
Como no enuncia ningún ejemplo concreto de demostración por reducción al absurdo que no pudiera analizarse como identidad sintética, voy a ceñirme a la que, en comunicación personal previa al III Diálogo Filosófico (7 de marzo de 2018), me sugirió: la prueba de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2. Aunque la prueba originaria es geométrica, y tiene que ver con la inconmensurabilidad determinada por los griegos de la diagonal con el lado del cuadrado, la prueba suele hacerse hoy día algebraicamente mediante un curso de reducción al absurdo, consistente en suponer que la raíz de dos es un número racional a/b. Pero lo que Vicente no advierte es que este curso precisamente colapsa cuando confluye con otro curso, relacionado con el argumento de paridad que conduce a la contradicción. En efecto, esta sencilla –en apariencia– demostración presupone, aparte del curso consistente en suponer que la raíz de 2 admite una expresión como fracción irreducible, un curso relacionado con el Lema de Euclides (Teorema 30 del Libro VII de los Elementos), con el hecho de que los números enteros constituyen un dominio euclídeo y, en especial, un dominio de factorización única. El curso latente enlaza con que si un número primo p (en nuestro caso p = 2) divide al producto a·b, entonces p divide a a ó p divide a b (y a ó b son pares). Si no nos equivocamos, sin la intersección con este último curso no se produce la contradicción, porque de que 2 divida a a² deduzcamos que 2 divide a a (y, por tanto a es par) depende necesariamente de este último resultado. En efecto, en los enteros de Gauss generados por la raíz cuadrada de -5, 2 divide a 6 = (1+√-5)·(1-√-5) pero 2 no divide a 1+√-5 ni a 1-√-5; y, atención, 5 divide al cuadrado de la √-5, a -5 = (√-5)², pero 5 no divide a √-5.
Incluso, pasando al campo de la lógica, cabría decir que toda demostración por reducción al absurdo implica ya varios cursos operatorios, aunque en apariencia haya sólo uno. En efecto, supongamos que para demostrar P, negamos P (no-P). El esquema más simplificado de prueba por reducción al absurdo que puede imaginarse tiene este aspecto:
1. no-P
2. Q
3. no-P → no-Q
4. no-Q (Modus Ponens en 1 y 3)
5. Q y no-Q (CONTRADICCIÓN entre 2 y 4)
–––
6. P
Lo que oculta este esquema formal es que sólo se alcanza la contradicción cuando el curso ‘vertical’ de la reducción al absurdo interseca con el curso ‘horizontal’ relativo a las premisas 2 y 3. Y, como bien saben los lógicos intuicionistas, sólo cabe afirmar Q y la implicación no-P → no-Q cuando ambas fórmulas han sido demostradas previamente. Por volver al ejemplo de la raíz de 2: sólo se alcanza la contradicción cuando el curso ‘vertical’ de la reducción al absurdo interseca con el curso ‘horizontal’ del argumento de la paridad en los números naturales (que se supone previamente probado).
Por último, por cerrar esta primera cuestión, a Sergio Vicente le asombra que yo no mencione en ningún momento de mi lección la noetología, y cabría decir que a mí me asombra su asombro, pues Gustavo Bueno aparcó el proyecto noetológico ante la mayor potencia del proyecto gnoseológico (como a posteriori ha sido). Entre otras razones, porque la posibilidad de una teoría general de la razón que englobase a la filosofía y las ciencias bien pudo verse desbordada por el pluralismo discontinuista en ontología del materialismo filosófico (sin perjuicio de la importancia de los ejercicios noetológicos relacionados con las figuras de la dialéctica, es decir, precisamente con las contradicciones o inconmensurabilidades).
2. Franjas de verdad
En su escrito, Sergio Vicente no sólo cuestiona la doctrina de la identidad sintética, sino también la doctrina aparejada de las franjas de verdad (véase Gustavo Bueno, Teoría del cierre categorial, tomo I, §30 Franjas de verdad).
Para Vicente, la verdad de un teorema matemático no admite franjas. O es verdad, o no lo es. Así, cuando se demuestra el teorema de Pitágoras por vez primera, ya es verdadero, deja de ser falso. Con estas afirmaciones, Sergio Vicente no hace sino darme la razón y constatar lo que ya expresé en la lección: que está y sigue preso de una concepción formalista de la verdad, como predicado universal, con valor 0 ó 1.
Pero el sentido de verdad de la teoría del cierre no es formal sino material; porque cada teorema matemático, cada identidad sintética, se construye en el marco de un esquema de identidad, de un contexto determinante, cuyo radio de acción no es infinito, universal. Como buen formalista, Vicente comete el error de abstraer, de desgajar, los teoremas matemáticos de sus contextos morfológicos.
Los teoremas matemáticos se demuestran más de una vez, mediante cursos de operaciones heterogéneos, porque así se convierten en auténticos nudos de la red matemática, en el sentido de que su franja de verdad aumenta (no porque su valor de verdad formal cambie, sino porque su verdad material engrosa, al concatenar o engranar cada vez más fenómenos). Sólo así puede explicarse que el teorema de Pitágoras conozca más de 800 demostraciones distintas… ¿o es que los matemáticos de todos los tiempos no se han enterado de que el teorema ya era verdad desde el siglo V a. C.? ¿Cree Vicente que se trata de un mero pasatiempo sin significado gnoseológico? Análogamente, el teorema del punto fijo de Brouwer fue demostrado originariamente usando técnicas topológicas (el grado de una aplicación), pero su conversión en piedra angular de la matemática actual se fraguó gracias a las demostraciones usando técnicas de topología algebraica y técnicas analíticas, que permitieron su extensión a otros dominios al ir ampliando su franja de verdad.
3. Distinción ciencias / técnicas
En este punto, Sergio Vicente asume el papel de advocatus diaboli y se acoge, pese a las observaciones que en el III Diálogo Filosófico le realizara Luis Carlos Martín Jiménez, a la distinción entre ciencias y técnicas tal y como la ha replanteado David Alvargonzález, esto es, por medio de la diferenciación –de raigambre aristotélica– entre principios y fines.
El problema con esta propuesta es que rompe con la escala gnoseológica (centrada en la verdad) para acercarnos a una dimensión pragmática o, peor aún, psicologista: mientras que las ciencias se organizarían mediante principios (nótese, de paso, el regusto teoreticista, que lleva a concebir las ciencias como sistemas formales en vez de como cuerpos o conglomerados), las técnicas se organizarían mediante fines prácticos. Pero, ¿acaso la ciencia actual, la mayoría de proyectos de investigación científica de nuestro tiempo, no se articulan también con respecto a la consecución de un fin propositivo? Con la tecnociencia actual no cabe decir que la presencia de un fin sea un rasgo distintivo de las técnicas o las tecnologías respecto de las ciencias.
Las ciencias, en general, son cuerpos que constan –como apuntó Luis Carlos Martín Jiménez– de un eje pragmático, de autologismos y dialogismos, y por tanto de fines e intereses. Por supuesto que en el teorema de Pitágoras no hay fines ni intereses; pero lo que aquí se discute es si los hay o no en las ciencias, a fin de distinguirlas de las técnicas apelando a su ausencia o presencia.
La teoría del cierre, al interpretar las ciencias como procesos operatorios, las aproxima a otros procesos operatorios (técnicos, artísticos, artesanales…); pero, al mismo tiempo, sostiene que la línea de demarcación entre las construcciones científicas y las construcciones no científicas (técnicas, tecnológicas, artísticas…) pasa obligatoriamente por la verdad (asociada a la determinación de identidades sintéticas sistemáticas, relaciones, no de identidades sintéticas esquemáticas, resultados de operaciones), por la neutralización de las operaciones del sujeto operatorio y el regreso a un plano donde las relaciones esenciales construidas subsistan al margen de las operaciones que las generaron. La clave reside en que este criterio es interno (gnoseológico), no externo (pragmático).
Según esto, la diferencia entre el teorema de Pitágoras, donde los fines han sido segregados, y un vaso campaniforme, donde los fines han sido incorporados, tiene primordialmente que ver con que el teorema es una identidad sintética sistemática (una estructura esencial), mientras que el producto técnico constituye a lo sumo una identidad sintética esquemática (un resultado normativizado de operaciones). Pero ello no obsta para que en la geometría, como en toda ciencia, siga habiendo figuras pragmáticas: autologismos y dialogismos; fines e intereses (a no ser que, presos de una concepción teoreticista de las ciencias, reduzcamos las ciencias a un sistema de principios y teoremas, olvidando que las ciencias no sólo contienen verdades, sino también errores, instituciones, personas, &c.).
La distinción entre ciencias y técnicas tiene que ver, insisto, con la verdad, no con la distinción principios/fines de resonancia aristotélica. Atrincherarse en esta última, como hace Vicente, probablemente sea consecuencia directa de su rechazo de la teoría de la verdad como identidad sintética.
4. Ciencias “formales”
Sergio Vicente dice, y dice bien, que para Luis Carlos Martín Jiménez y para mí mismo todas las ciencias serían materiales y no habría “ciencias formales”, según las llama David Alvargonzález. Y propone, a continuación, denominarlas “ciencias tipográficas” o “ciencias de manchas de tinta”.
Hasta donde llego, no alcanzo a comprender esta obstinación de Sergio Vicente por mantener el viejo compartimento metafísico dedicado a las mal llamadas “ciencias formales”. ¿Qué tiene en contra de poner a las matemáticas o la lógica al mismo nivel que la física o la química en la República de las Ciencias? ¿Es que acaso, saltándose a la torera el pluralismo discontinuista de la teoría del cierre categorial, cree que la lógica y las matemáticas forman una totalidad atributiva, un estamento aparte en la República de las Ciencias? ¿Acaso desea devolverles los privilegios de que gozaban en el “Antiguo Régimen” kantiano? Sea como fuere, algo es claro: las denominaciones que propone aportan características necesarias, pero no suficientes, por cuanto la semiótica o la teoría de la literatura también serían ciencias tipográficas, de manchas de tinta, de negro sobre blanco.
5. Distinción alfa / beta
Aunque esta cuestión va dirigida a Luis Carlos Martín Jiménez, me parece pertinente dejar constancia de lo que le expuse a Sergio Vicente en el III Diálogo: que la distinción alfa / beta no se aplica originariamente a las ciencias sino a las metodologías científicas. De hecho, el artículo pionero de Gustavo Bueno se titula, y no es casualidad: “En torno al concepto de 'Ciencias Humanas'. La distinción entre metodologías α-operatorias y β-operatorias” (El Basilisco 2, 1978, subrayado nuestro). En él, no se habla de ciencias alfa y ciencias beta sino de unas metodologías alfa y unas metodologías beta funcionando en el seno de las ciencias humanas. Es posteriormente, en Teoría del cierre categorial (1992), donde Bueno habla ya –al igual que en ¿Qué es la ciencia? (1995)– de situaciones alfa y situaciones beta, como criterio para clasificar ciencias (e invierte el orden de exposición).
Esto es algo que el propio Bueno advierte en ¿Qué es la ciencia?, poco después de la cita que Sergio Vicente trae a colación para (supuestamente) mostrar que Luis Carlos y servidor interpretamos mal las tesis de Bueno al hacer hincapié en que la distinción se aplica primeramente a las metodologías y sólo después a las ciencias. En efecto, en palabras de Gustavo Bueno:
«Con estas premisas, estaríamos en condiciones de introducir nuevos conceptos gnoseológicos, a saber, los conceptos de metodología α y metodología ß de las ciencias humanas (inicialmente) y, en una segunda fase, de metodologías-α de las ciencias en general. No debe confundirse esta distinción con la distinción entre situaciones α y ß que le sirve de base; y que, en todo caso, se reduce a un criterio de clasificación dicotómica (dado que puede aplicarse, no tanto globalmente a las “ciencias átomas”, sino también parcialmente, a estados, fases o doctrinas especiales de alguna ciencia humana).» (¿Qué es la ciencia?, Pentalfa, Oviedo, p. 77, subrayado nuestro.)
Una misma ciencia puede comprender –como subrayó Luis Carlos– metodologías alfa y beta. Así, el ejemplo oral que puse tenía que ver con la medicina, donde encontramos metodologías beta (propias de una práctica técnica), pero también metodologías alfa, como las relacionadas con la bioestadística, con los ensayos clínicos y la inferencia estadística.
6. Sobre signos autogóricos
En su último comentario, Sergio Vicente me alerta de los peligros de caer en el formalismo hilbertiano que critico; porque no explico que los signos matemáticos reconstruyen aquello que representan y, así, por ejemplo, el símbolo = introducido por Robert Recorde en 1557 proviene de que dos cosas no pueden ser más iguales que dos rectas paralelas.
De igual manera, como recordaba Bueno en el prólogo a El racionalismo y los problemas del método de Javier de Lorenzo (Cincel, Madrid, 1985), los numerales romanos conservan la forma de los dedos de las manos (el V los dedos en señal de victoria, el X los dedos cruzados, &c.) y, de hecho, seguimos hablando de dígitos. Pero un mecanismo de reducción-absorción múltiple posibilita segregar los números de los dedos. Los números no son meros dedos sublimados, porque los dedos de las manos, como los de los pies, un puñado de guijarros o un conjunto de naranjas se incluyen en los números. Análogamente, el cero es una representación gráfica de una operación consistente en dejar un hueco, un lugar vacío, en un ceremonial político-religioso propio de una sociedad de castas que ya posee la escritura como era la de la India. Lo que explicaría por qué los indios –que no tenían un Euclides o un Arquímedes– conocieron el cero. Pero el número cero terminó segregándose de este contexto técnico (Gustavo Bueno, Prólogo a Historia de la Lógica de Julián Velarde, Universidad de Oviedo, Oviedo, 1989, p. XIII). Escribir los numerales en rojo no hace que los números sean rojos, porque también podrían haberse trazado con tinta negra o azul. Esta neutralización de la subjetualidad ligada a los contextos técnicos, mediante un mecanismo de reducción-absorción, es condición de posibilidad del cierre categorial de las matemáticas.
7. Coda: la negación del hiperrealismo
Termino. Resulta sorprendente que Sergio Vicente no haya recogido en su rapsodia de críticas a la teoría del cierre una séptima discrepancia que levantó polémica en el Diálogo Filosófico. Me refiero a la cuestión del hiperrealismo, que Vicente niega o limita, como se desprende de una discusión que mantuvo en las redes sociales con seguidores de Mario Bunge y de su intervención en el Diálogo Filosófico. Vicente confina el hiperrealismo a morfologías como las bombas atómicas, los automóviles o los aviones, manteniendo que el hidrógeno o el oxígeno claro que existían antes de la química, y llegando a sostener que el oxígeno es un fenómeno que siempre ha estado ahí (cuando más bien es una esencia procesual, no megárica).
Pero como Iván Vélez le replicó en el diálogo: “El hombre de Atapuerca no respiraba oxígeno” (lo que sería un anacronismo). En el tomo III de la Teoría del cierre categorial, Gustavo Bueno aborda el tema del hiperrealismo y señala que desde un punto de vista materialista carece de sentido afirmar que el oxígeno ha estado ahí siempre; porque esta esencia química sólo se abre paso, sólo pudo construirse, a partir de las transformaciones inducidas por la campana de Lavoisier (1776). Sin perjuicio de que desde el presente reconstruyamos el pasado estableciendo que el aire siempre ha estado compuesto de oxígeno, sin la campana de Lavoisier el oxígeno no es determinable (de igual manera que sin el tubo de rayos catódicos el electrón es incognoscible, o sin los grafos de triángulos rectángulos el teorema de Pitágoras se esfuma). El oxígeno es un descubrimiento constitutivo, es decir, pertenece a una clase de descubrimientos que Bueno postula para superar la distinción superficial descubrimientos (manifestativos) / inventos y, como corolario, la distinción metafísica Naturaleza / Cultura coordinable con aquella.
Llegado el final parece pertinente insistirle a nuestro crítico en que su retorcimiento de las tesis del materialismo filosófico es de tal calibre que lo posiciona a años luz del mismo, por mucho que declare en su escrito “que quiere permanecer dentro de la teoría del cierre categorial”. En efecto, si repasamos las tesis que Sergio Vicente Burguillo impugna de la teoría del cierre, nos encontramos con las siguientes, a saber:
– Hiperrealismo.
– Teoría de la verdad como identidad sintética.
– Franjas de verdad.
– Distinción gnoseológica ciencias/técnicas.
– Clasificación metodologías alfa/beta.
– Negación de las ciencias “formales”.
Por descontado, ello no resta un ápice de interés a su crítica, que ha de entenderse como un momento más de la dialéctica entre teorías de la ciencia, entre una teoría teoreticista (formalista) de las ciencias y una teoría circularista (materialista) de las mismas. Vale.