El CatoblepasSeparata de la revista El Catoblepas • ISSN 1579-3974
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El Catoblepas

El Catoblepas · número 183 · primavera 2018 · página 1
Artículos

Breves comentarios al hilo de desarrollos recientes de la Teoría del Cierre Categorial indice de la polémica

Sergio Vicente Burguillo

Se comentan con cierta urgencia algunos puntos de fricción sobre la teoría de la ciencia de Gustavo Bueno motivados por intervenciones de Carlos M. Madrid Casado, David Alvargonzález y Luis Carlos Martín Jiménez

En este escrito comentamos algunos “puntos de fricción” sobre la Teoría del Cierre Categorial (TCC) al hilo de las intervenciones de Carlos M. Madrid Casado (CM) y David Alvargonzález (DA) en la Escuela de Filosofía de Oviedo (5 de marzo de 2018), y de CM y Luis Carlos Martín Jiménez (LCMJ) en los Diálogos Filosóficos en Madrid (7 marzo 2018).

1. Identidades sintéticas de las Matemáticas

Sostiene CM en la EFO (5 marzo 2018) que las verdades matemáticas (que la TCC entiende como identidades sintéticas), necesitan dos cursos operatorios (heterogéneos e independientes) que han de converger, y que en esa convergencia consistiría precisamente la identidad sintética, la verdad matemática. Pone como ejemplos la identidad del área del círculo, demostración hecha por Arquímedes (método de exhaución), y el teorema de Pitágoras, demostración que figura en el teorema I, 47 de los Elementos de Euclides. Pues bien, lo que yo sostengo es que CM al decir eso incurre en un claro lisologismo y una petición de principio, pues con dos ejemplos no se demuestra nada; en efecto, los tipos de demostraciones son variados y las Matemáticas son una disciplina o conjunto de disciplinas muy heterogéneas. Yo mismo presenté en la EFO (8 mayo 2017) la tesis de que en el campo del Cálculo Infinitesimal sí que son necesarios dos cursos operatorios (heterogéneos e independientes) convergentes. Y que eso pasa porque el Cálculo Infinitesimal es la parte de las Matemáticas que trabaja con Infinitésimos, es decir, con los llamados ‘límites’. Por eso, al hacer la demostración de Arquímedes del área del círculo, se parte de un contexto determinante, el círculo, se construye un curso operatorio dentro de él, mediante un polígono inscrito; al hacer cada vez polígonos que aproximan al círculo, nos vamos aproximando al área del círculo. Ahora bien, tenemos una limitación operatoria, porque esas triangulaciones no las podemos continuar ad infinitum, y en ese momento debemos parar el proceso. Por otra parte, se hace un curso operatorio distinto sobre el círculo, esta vez mediante un polígono circunscrito. Mediante un proceso análogo de aproximación, pero esta vez reduciendo el área de esos polígonos, resulta que los dos cursos operatorios deben converger al mismo número real, pi*R2. Aquí, por cierto, se presentan dos figuras de la dialéctica, la metábasis y la catábasis, y entra en juego la Noetología (que por cierto CM no menciona curiosamente en ningún momento). Decía yo mismo en la EFO, también, que aquí se cumple el esquema de las tres fases de la Noetología tal y como es definido por Bueno en El papel de la Filosofía en el conjunto del saber.

Ahora bien, ¿ocurre un proceso análogo en todas las identidades de las Matemáticas? Yo sostengo que al menos en algunos terrenos sí, pero que no en todos. Y concreto, y digo por qué: en el Cálculo Infinitesimal. Y la razón la resumo: hay una limitación operatoria al trabajar con infinitésimos, y se necesitan dos cursos operatorios (heterogéneos e independientes) que converjan, y digo, además, que allí aparece la Noetología (las tres fases de El papel de la Filosofía), y que además aparecen la metábasis y la catábasis.

Ahora bien, si CM dice que en todas las identidades de las Matemáticas aparece esa convergencia deberá demostrarlo, no poner dos ejemplos. Es más, en las demostraciones por ‘reductio ad absurdum’ tan propias de la Topología, por ejemplo, ¿hay dos cursos operatorios (heterogéneos e independientes) que convergen? Parece difícil sostener eso. Mi tesis es la siguiente, que quiere permanecer dentro de la TCC. En todos los casos, en todas las demostraciones de las Matemáticas, hay contextos determinados y determinantes, hay esquemas materiales de identidad, hay operaciones, términos y relaciones (en realidad están de algún modo las 9 figuras del espacio gnoseológico); y la identidad sintética consiste en que se produce cierta relación o relaciones (figura del eje sintáctico), mediante ciertas operaciones con ciertos términos (eje sintáctico). Pero esa objetividad de la relación o relaciones que segrega al sujeto no es necesariamente una convergencia de dos cursos operatorios (heterogéneos e independientes). En las demostraciones por reducción al absurdo, por ejemplo, hay un solo curso que, al colapsar, hace que la tesis de partida sea verdadera.

2. Franjas de verdad

Dice CM en la misma EFO que el teorema de Pitágoras tiene más de 800 demostraciones, y que eso hace que la franja de verdad del teorema, entonces, sea muy densa. Y que yo (SVB) tendría al respecto una postura ‘formalista’ acerca de la verdad. Me gustaría preguntarle a CM, ¿a partir de cuándo esa verdad comienza a serlo? ¿a partir de las 100 demostraciones? ¿200? Parece muy extravagante sostener eso. Nadie niega que cuanto más se demuestre un teorema, y cuantas más vías lleven a él, más importante será (concatenará más fenómenos; cerrará de manera más firme la categoría; tenderá puentes con otras categorías, &c.). Ahora bien, lo discutible, y lo que yo le discuto a CM es que la verdad del teorema dependa de las veces que se demuestre. Quiero decir, y dicho de otra manera, el teorema de Pitágoras, en cuanto se demuestra una vez (como identidad sintética) es inmanente a los contextos determinantes en los que se demuestra, pues que ese teorema ya no es falso, ni una conjetura. Hay una serie de relaciones objetivas que segregan al sujeto. Cuando Tales demuestra que todo triángulo inscrito en un semicírculo es rectángulo, ese teorema, demostrado mediante una identidad sintética, ya es verdadero, en el sentido de que ya no es falso, ni es una conjetura, ni es algo meramente empírico propio de la agrimensura. Creo con esto haber aclarado este punto y haber contestado a CM, al que a su vez pongo una objeción.

3. Distinción técnicas / ciencias

En los III Diálogos, tanto CM como LCMJ critican a DA la distinción entre técnicas y ciencias. DA había dicho (lo reconstruyo con mis palabras en estas notas urgentes) en la EFO (26 octubre 2016) que las ciencias son sistemas, y que son organizados por las identidades sintéticas que van segregando. Y que las técnicas, sin embargo, están organizadas en torno a fines prácticos (construir un hacha de sílex, o la bomba atómica). Estoy básicamente de acuerdo con DA. Sin embargo, no lo están LCMJ ni CM, pues para ellos, tanto en las ciencias como en las técnicas hay fines, y que ese esquema de DA es ‘aristotélico’. Es más, CM dice que hay proyectos de investigación científicos impulsados desde la política, pero ¿y qué? ¿Qué demuestra eso? Desde luego, en las ciencias hay fines (basta pensar en el eje pragmático), pero les preguntaría ad hominem: ¿no están organizadas las ciencias, internamente, a través de esas identidades sintéticas? Por ejemplo, el teorema I, 47 de Euclides, el teorema de Pitágoras, ¿por qué está en el lugar I, 47 precisamente y no en el III, 59 o en el I, 12? Y a esto tanto LCMJ como CM deben responder, creo: “porque así lo demanda el orden objetivo de construcción de los teoremas, no en la génesis, pues los axiomas y resultados surgen in medias res, pero sí en cuanto se organizan en los libros. El teorema I, 47 depende de teoremas anteriores, y los teoremas posteriores depende de él”, Creo que esto es lo que quería decir DA y, en cualquier caso, es lo que interpreto yo al respecto. En las técnicas, sin embargo, no se produce la misma organización objetiva.

4. Ciencias formales

Para CM y para LCMJ todas las ciencias serían ‘materiales’, y no habría ‘ciencias formales’, como las ha llamado DA en la EFO (15 enero 2018). Pues bien, propongo llamarlas ‘ciencias tipográficas’, o ‘ciencias de manchas de tinta’.

5. Distinción alfa / beta

No habría, para LCMJ (y no sé si para CM) distinción clara entre ciencias alfa y beta, pues eso sería ‘romper la clasificación de Bueno’. Habría, más bien, unas metodologías alfa y beta de la que todas las ciencias participarían. Pero eso no es lo que dice Bueno.

Tomemos el opúsculo ¿Qué es la Ciencia? (III, 12), allí habla Bueno de ‘situación alfa’ y ‘situación beta’:

«En este punto es donde se hace preciso distinguir dos situaciones, en general muy bien definidas, dentro de los campos semánticos característicos de cada ciencia.
Situación primera (α): la situación de aquellas ciencias en cuyos campos no aparezca formalmente, entre sus términos, simples o compuestos, el sujeto gnoseológico (S.G.); o, también, un análogo suyo riguroso, pongamos por caso, un animal dotado de la capacidad operatoria (Sultan, de Köhler, «resolviendo problemas» mediante composiciones y separaciones de cañas de bambú).
Situación segunda (β): la situación de aquellas ciencias en cuyos campos aparezcan (entre sus términos) los sujetos gnoseológicos o análogos suyos rigurosos.»

Ahora bien, las metodologías alfa y beta son propias solo de las ciencias humanas, dada su inestabilidad constitutiva, pero no de las ciencias naturales, pues en los términos del eje sintáctico de estas ciencias aparecen manchas de tinta, signos autogóricos, o bien objetos físicos, o aparatos, pero no operaciones de sujetos. Creo, en lo esencial, que DA lleva razón al organizar así las ciencias.

6. Signos autogóricos

Termino con un comentario a CM, en el que me pareció advertir (EFO, 5 marzo 2018) que estaba cerca de caer en el formalismo hilbertiano que critica. La inmanencia, la semántica y la sintaxis de las Matemáticas no son solo cosas ‘internas’ al circuito de las operaciones auto-referentes, hetero-formantes. Pues los signos son autogóricos, y reconstruyen, por reducción y absorción, la semántica de aquellos que representan. Un ejemplo a mano y sencillo, el símbolo = de Recorde. Esto corrige el formalismo hilbertiano.

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