El Catoblepas • número 96 • febrero 2010 • página 9

Del cero al infinito

Carlos M. Madrid Casado

Exposición y crítica de los mitos filosóficos que subyacen en los artículos de José Ramón San Miguel Hevia sobre la historia de las matemáticas y de la física

El objetivo de este artículo es realizar una crítica filosófica de parte del abundante trabajo historiográfico que el profesor San Miguel Hevia viene realizando mensualmente en las páginas de El Catoblepas. Nos referimos, con más precisión, al conjunto de artículos que ha dedicado a la historia de las ciencias. Ahora bien, como va dicho, nuestra crítica no es una crítica histórica sino filosófica. Con otros términos: no pretendemos discutir fechas o acontecimientos, sino las coordenadas interpretativas desde la que éstos se reconstruyen. En una palabra: los principios gnoseológicos (y ontológicos, podríamos añadir) desde los que se proyectan los siguientes artículos, a saber: «El descubrimiento del cero» (nº 95), «La ciencia moderna» (nº 68), «La física cinemática» (nº 69), «La dinámica» (nº 70) y «La revisión de las ciencias» (nº 74).

Nuestra revisión va a circunscribirse a la exposición y la posterior impugnación de una serie de tesis –filosóficas, empero– que aparecen las más de las veces sumergidas en el mar de datos que contienen los artículos del profesor San Miguel Hevia (SMH a partir de ahora). Bajo una supuesta perspectiva neutral (imparcial), que no comprometería a nadie, ni a tirios ni a troyanos, el descripcionismo de SMH oculta una toma de partido realmente característica de los tiempos que corren.

Tesis I. Inferioridad de la matemática griega frente a la matemática india

En su reciente artículo dedicado al cero, SMH sustenta, tras pasar revista a los brillantes descubrimientos geométricos griegos, que sería de esperar que la aritmética griega hubiera experimentado un desarrollo igual o superior. Con sus propias palabras:

«No parece excesivo exigir al genio de Pitágoras o de Arquímedes lo mismo que un niño de muy pocos años resuelve fácilmente y casi de forma automática. Es demasiado pedir: los creadores del teorema del triángulo rectángulo y del número pí son incapaces, no ya de calcular, sino de contar de una forma evolucionada. En la clasificación de las numeraciones de todos los pueblos, los griegos permanecen en el tercer mundo de la aritmética.»

Si este Tercer Mundo cobijaría a los griegos, en el Primer Mundo nos encontraríamos a los babilonios, los mayas, los chinos y los indios, quienes llevarían la aritmética a su última perfección al descubrir el cero. Las causas de este significativo retraso se encuentran, según SMH, en que los griegos heredaron de los fenicios un arcaico alfabeto numeral, formado por 27 letras repartidas en tres grupos, que representarían respectivamente las unidades, las decenas y las centenas. Además, este sistema de numeración aditivo –al igual que el de los egipcios y, luego, el de los romanos– imposibilitaba escribir y calcular con números grandes. Algo que los sistemas de numeración posicional –como el indio y, más tarde, el árabe– podían hacer sin dificultad.

El problema es que, en su estudio, SMH nos recuerda –parafraseando a Marx– a las mujeres maduras que creen que las jóvenes no hacen sino imitarlas en sus mejores tiempos. Emboscado en nuestro actual sistema de numeración decimal (de raigambre, es cierto, indo-arábiga), SMH lo emplea como vara para medir la cercanía o la lejanía de los demás sistemas de numeración con respecto al canon, al ideal, es decir, el nuestro (claro). Pero, por encima de las indudables ventajas pragmáticas que nuestro sistema manifiesta, el juicio histórico de la matemática griega no puede depender de este criterio extemporáneo tomado ad hoc. La geometría y la aritmética griegas deben ser juzgadas por comparación con las otras matemáticas del momento, sin perjuicio de que para ello tengamos que echar mano de los conocimientos de hoy día. Y si esto se hace así, las conclusiones son completamente distintas.

En efecto, a lo largo de todo su artículo, SMH confunde sistemáticamente las técnicas (los sistemas de numeración) con la ciencia (la aritmética). El contar con el demostrar. Y deduce erróneamente del hecho de que las técnicas contables griegas fueran peores que las indias, que la aritmética griega era inferior a la india. Ahora bien, los indios podrían poseer mejores técnicas (un sistema de numeración posicional, el cero); pero la ciencia de los griegos era, desde luego, más potente, pues comprende y supera todos los teoremas aritméticos mencionados en textos indios.

Basta dar un vistazo a los Libros VII, VIII y IX de los Elementos de Euclides para descubrir toda una serie de proposiciones que aún hoy, dos mil años después, constituyen los fundamentos de la aritmética y de la teoría de números: el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor, el teorema que demuestra la existencia de una cantidad infinita de números primos y, en especial, el llamado Teorema Fundamental de la Aritmética (que prueba que cualquier número puede descomponerse como producto de primos de modo único salvo el orden). Y esto por no mentar el Arenario de Arquímedes o la Aritmética de Diofanto. Expresado de otra manera: aunque un niño de muy pocos años puede que cuente y calcule con más facilidad que Pitágoras o Arquímedes, éstos sabían de aritmética lo que probablemente ese niño no llegue a saber en toda su vida.

Euclides en La Escuela de Atenas de Rafael

Y entonces, podría objetárseme, si tan buenos eran los griegos en aritmética, ¿por qué no inventaron el cero? Sencillamente: porque no les hacía falta. Aunque en los registros astronómicos griegos se observa el uso de un símbolo O parecido al cero^{1}, los brillantes teoremas aritméticos griegos que compiló Euclides están formulados y demostrados en un lenguaje puramente geométrico. Los matemáticos griegos no necesitaban nombrar los números, dado que trabajaban con números como longitudes de una recta (segmentos). De esta aritmética geométrica derivan, precisamente, expresiones cotidianas como «el cuadrado de un número» o «el cubo de un número»^{2}. La invención del cero fue una cuestión, insisto, más técnica que científica, más propia de la notación que precisaban usar los tenderos de la época que los geómetras griegos.

Es más, cuando más de mil años después, tras la propagación por Europa de los tratados de Al-Khowarizmi y de Fibonacci, que importaban y traducían el nuevo sistema de numeración posicional con el cero, los algoristas fueron imponiéndose a los abaquistas, todavía Cardano procedió a resolver ecuaciones cúbicas y cuárticas dando origen al álgebra moderna sin recurrir al cero y, lo que es mucho más notable, ¡Newton escribió sus Principia Mathematica en el lenguaje geométrico de Euclides! More geometrico. La aceptación del cero y del nuevo sistema de numeración fue, otra vez, más una cuestión técnica que científica, impulsada por mercaderes y comerciantes más que por «filósofos naturales», y sobrevalorada desde el presente debido al posterior auge del capitalismo.

Página «geométrica» de los Principia de Newton

Tesis II. La madre Filosofía aborta el nacimiento del Cero

A diferencia nuestra, SMH mantiene que la razón de que los griegos no inventaran el cero no reside en la naturaleza geométrica de su matemática sino en la filosofía presocrática. Los filósofos geómetras griegos considerarían «escandalosa» (sic) la presencia de una cifra que represente una cantidad y que sea al mismo tiempo la negación de toda cantidad. La culpa sería, pues, de Parménides:

«Cuando los griegos concretan este principio generalísimo [el principio de no-contradicción de Parménides] al mundo de las cantidades no tienen más remedio que negar cualquier posible conocimiento y cualquier expresión de un número nulo.»

Para SMH, la Filosofía aparece como la madre de las Ciencias. Una madre capaz, llevada por sus principios, de abortar el nacimiento del cero…

No entraré aquí a defender la tesis contraria: la de que la Filosofía no es la madre de las Ciencias y que las Ideas filosóficas brotan de los conceptos científicos y técnicos (y no al revés)^{3}. Simplemente apuntaré que, desde esta perspectiva anti-metafísica, el surgimiento del cero no tendría que ver con la Idea filosófica de nada o de vacío, sino más bien con situaciones prácticas, mundanas: los griegos y los romanos no necesitaban, al emplear una numeración aditiva, del cero; pero los indios y los árabes sí, dado que su numeración era posicional y, por tanto, precisaban de un signo que indicara las posiciones vacías a la hora de escribir y leer números.

Tesis III. Del idealismo a la fenomenología, o del cero al infinito

La anterior tesis puede hacernos sospechar que SMH asume cierto idealismo a la hora de analizar la historia de la ciencia. Pero, ¿podemos encontrar más muestras de este idealismo? Sí, desde luego, en los otros artículos antes mencionados. El idealismo filosófico de SMH a propósito del descubrimiento del cero pronto pone de manifiesto un marcado idealismo histórico con respecto al nacimiento de las ciencias naturales.

Para muestra, un botón:

«Los últimos siglos de la Edad Media asisten a un profundo cambio de la mentalidad del mundo occidental, tan profundo y radical que ha merecido el nombre de renacimiento. […] Este descubrimiento de las raíces humanas más hondas va acompañado de un entusiasmo colectivo, porque el hombre europeo vuelve a asistir nada menos que a su nacimiento. Y a su vez este volver a nacer, este renacimiento, suprime toda la capa de adherencias, que a lo largo de más de mil años de historia ha ido ocultando su primera forma de vida, y permite reproducir los gestos y las vivencias primeras desde las que fue posible que empezase a ser lo que efectivamente es.» («La ciencia moderna»)

Difícilmente puede decirse tan poco con tantas palabras. Si a esto añadimos que esas hondas raíces humanas a que SMH se refiere son, como a continuación se explica, las que saca a la luz el protestantismo, sólo cabe correr y recomendar la lectura de El miedo a la libertad de Erich Fromm, quien muestra cómo ese elogio de la sencillez condujo a las cámaras de gas…

Pero centrémonos, por favor, en los aspectos científicos. Para SMH, la historia de la ciencia es, al igual que la historia política y social, fruto de cambios de mentalidad y se reduce, por tanto, a la sucesión de una serie de genios y luminarias, cuyas brillantes ideas cambian la faz del mundo. La historia del nacimiento de la ciencia moderna es, entonces, una lista ordenada de nombres: Copérnico, Brahe, Kepler, Galileo, Bacon (?), Descartes, Leibniz y, finalmente, Newton. Y se hizo la luz. A todos ellos dedica espacio SMH en sus artículos, combinando párrafos biográficos con doxográficos en una sucesión de lugares comunes que sólo sorprende cuando concluye –en su artículo «La revisión de las ciencias»– con la Fenomenología. Acabáramos.

Por ejemplo: para SMH, la victoria del sistema copernicano frente al ptolemaico se debe al principio de economía. Una vez más las ideas producirían los hechos:

«De esta forma, a partir de una causa única, la posición del Sol en el centro del sistema y por consiguiente la traslación de los demás planetas, incluida la Tierra en torno a él, se explica de golpe todo cuanto la física antigua había intentado entender inútilmente. La increíble complicación de docenas de esferas excéntricas que se mueven alrededor de la Tierra, constituida en señora del universo queda cambiado por el simple giro circular de seis cuerpos en velocidades y tiempos distintos pero constantes. El principio de economía ha logrado su éxito más espectacular.» («La ciencia moderna»)

Lástima que esta historia de grano grueso de la astronomía no sea cierta. Como el propio Kuhn no se cansó de repetir desde La estructura de las revoluciones científicas, el modelo heliocéntrico precisaba del mismo o mayor número de epiciclos y deferentes que el modelo geocéntrico: los círculos copernicanos por sí solos no explicaban los movimientos planetarios (que son cuasi-elípticos). La consolidación del sistema heliocéntrico tiene más bien que ver, desde una perspectiva materialista, con Galileo y Newton, con sus reconstrucciones mecánicas y sus aparatos (telescopios), antes que con su autor (el canónigo Copérnico)^{4}.

Pero SMH lee a Galileo bajo el prisma de Husserl y Koyré: Galileo sería el creador de la nueva ciencia al idear la distinción entre cualidades primarias y secundarias y desdoblar con ella el mundo…

«El espacio creado por los físicos matemáticos y todos sus descendientes recorta de forma el universo común, dejándolo reducido a unas pocas y propiedades mensurables. Para que los hombres no queden ahogados por una de sus obras, quizás la más grande, necesitan retroceder hasta la realidad radical de la vida donde el sujeto y su mundo están unidos en conexión inseparable y recíproca y donde cada uno de los actos mantiene íntegro el carácter de posibilidad. […] La nueva escuela, nacida en el mismo 1900 y extendida por toda Europa, utiliza un método descriptivo –la fenomenología– que prescinde de cualquier explicación y pone en entredicho todas las teorías filosóficas o científicas, por muy venerables que sean. El necesario punto de partida del conocimiento es la consciencia, que no sería tal si no estuviese abierta a las cosas mismas que se le ofrecen en su nuda presencia. La descripción de la existencia humana y de su mundo de posibilidades tal como se aparece a una mirada inocente, es uno de los logros más espectaculares de esta forma de pensar.» («La revisión de las ciencias»)

La fenomenología sería, en consecuencia, la culminación de las ciencias, la ciencia radical por excelencia. (Para una crítica radical de esta posición, véase nuestro «Hussel y la mathesis universalis», El Catoblepas, nº 26, pág. 16, 2004.) En fin, concluyo como empecé, reiterando el título: el profesor San Miguel Hevia pasa, en un triple salto mortal (Tesis I-II-III), del cero al infinito.

«Las aplicaciones de la fenomenología a la matemática, y las pretensiones de Husserl de que ninguna explicación puede darse de los fundamentos de la matemática sin partir del enfoque fenomenológico me parecen absurdas… debo confesar que las contorsiones intelectuales a través de las cuales uno debe encontrarse en la actitud verdaderamente fenomenológica están extremadamente lejos de mí.» Carta de N. Wiener a B. Russell narrándole su asistencia al Seminario de Husserl (Gotinga, 1914)

Notas

{1} Para unos historiadores de la matemática, este símbolo O sería omicrón, la primera letra de la palabra griega «ouden» (nada). Otros historiadores descartan esta explicación aduciendo que los griegos ya usaban omicrón para representar el 70, y sostienen en cambio que O haría referencia al «obol» (óbolo), una moneda sin casi valor. En todo caso, este uso pionero del signo que hoy reconocemos por cero no sería después de todo un uso del número cero sino de una suerte de signo de puntuación, a la manera que funcionaba en el sistema de numeración babilonio. De hecho, esta notación de O como parámetro vacío para leer correctamente números con varias cifras sería retomada por Ptolomeo en el Almagesto, pero caería prácticamente en desuso pasado el tiempo. Algunos historiadores creen también que el uso indio del cero derivó del de los astrónomos griegos.

{2} Hemos desarrollado las consecuencias de la peculiar naturaleza de la matemática griega para el cierre categorial de la geometría en «Filosofía de la Matemática. El cierre de la Topología y la Teoría del Caos», El Basilisco (en prensa).

{3} Cf. Gustavo Bueno, La metafísica presocrática, Pentalfa, Oviedo 1974, y ¿Qué es la filosofía?, Pentalfa, Oviedo 1995.

{4} Cf. Carlos M. Madrid Casado, «Filosofía de la Física. El cierre de la Mecánica Cuántica», El Basilisco, número 39, páginas 67-112, 2008.

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