El CatoblepasSeparata de la revista El Catoblepas • ISSN 1579-3974
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El Catoblepas · número 188 · verano 2019 · página 12
Artículos

Sobre un uso heterodoxo de la teoría de conjuntos

Alejandro Gracia Di Rienzo

Se analiza el empleo del artificio lógico en los Ensayos materialistas y El Ego trascendental

Ensayos materialistas

En un video reciente{1}, Carlos Madrid y M. Ángel Castro Merino han aludido a una serie de críticas que desde varios medios se han hecho contra el empleo de la teoría de conjuntos para formalizar algunas tesis del materialismo filosófico. Dado el carácter fragmentario y poco preciso de estas críticas a las que se refieren, he considerado oportuno reunirlas aquí y responder brevemente a algunas posibles objeciones (entre ellas una que sugiere C. Madrid). No cabe duda de que estas críticas que voy a presentar no suponen una refutación decisiva de ninguna tesis del materialismo. Su alcance es puramente metodológico. No obstante, si mis argumentos son correctos, en el futuro habrá que examinar a fondo el alcance y las limitaciones de este “artificio lógico”, o bien cortar por lo sano y renunciar a él por completo. Esta consecuencia no tendría ninguna relevancia ni urgencia si el empleo de dicho artificio se hubiese limitado a Gustavo Bueno. Pero el caso es que varios de sus discípulos también lo han empleado y siguen empleándolo, y hasta donde yo sé, todavía no se ha hecho una crítica seria de este método.

Las críticas que voy a presentar son de dos tipos. En la sección I presento una objeción de carácter técnico, que tiene que ver con la consistencia lógica del artificio que estamos examinando. En la sección II argumento que las formalizaciones empleadas en el materialismo filosófico son ambiguas y que dependen de un supuesto filosófico dudoso.

I

Algunas fórmulas mediante las que se han representado tesis del materialismo filosófico plantean problemas de carácter lógico. En primer lugar quiero comentar una contradicción que ya ha sido resuelta, pero que curiosamente reaparece en otros lugares donde su solución es harto más complicada. En El Ego Trascendental (p. 37) leemos que la tesis central de los Ensayos Materialistas se puede abreviar en la siguiente fórmula (llamémosla T):

(T) [E = (M1 ∪ M2 ∪ M3) = Mi] & [−E = (−M1 ∪ −M2 ∪ −M3) = −Mi]

De esta fórmula se siguen las dos siguientes:

(a) E = (M1 ∪ M2 ∪ M3)

(b) −E = (−M1 ∪ −M2 ∪ −M3)

Puesto que “A = B” es lógicamente equivalente a “−A = −B”, de (a) se sigue:

(c) −E = − (M1 ∪ M2 ∪ M3)

Ahora, teniendo en cuenta la simetría y transitividad de “=”, podemos deducir de (b) y (c) la siguiente fórmula:

(d) (−M1 ∪ −M2 ∪ −M3) = − (M1 ∪ M2 ∪ M3)

Aplicando las leyes de De Morgan al lado izquierdo de esta fórmula, tenemos:

(e) − (M1 ∩ M2 ∩ M3) = − (M1 ∪ M2 ∪ M3)

De lo cual se sigue:

(f) (M1 ∩ M2 ∩ M3) = (M1 ∪ M2 ∪ M3)

Puesto que “A ∪ B = A ∩ B” es lógicamente equivalente a “A = B”, de (f) podemos deducir:

(g) M1 = M2 = M3.

Ahora bien, en Ensayos Materialistas (p. 150) leemos:

Si asimilamos los géneros de materialidad a clases lógicas, entre las cuales cabe interponer el relator de inclusión (“⊂”), podríamos introducir el signo “|—|” como relator de irreductibilidad entre los géneros de materialidad, definido de este modo:

Mi |—| Mj = def. (Mi ⊄ Mj) ∧ (Mj ⊄ Mi) (para i ≠ j; i, j = 1, 2, 3)

El “materialismo especial” o “materialismo cósmico” puede ser expresado simplemente por la fórmula: [Mi |—| Mj].

Es razonable suponer que esta última fórmula, si quiere expresar la irreductibilidad entre los tres géneros, es una forma abreviada de decir:

(h) (M1 |—| M2) & (M2 |—| M3) & (M1 |—| M3) (donde “&” es la conectiva “y”).

Esto equivale, por definición, a:

(h’) ∼ (M1 ⊂ M2) & ∼ (M2 ⊂ M1) & ∼ (M2 ⊂ M3) & ∼ (M3 ⊂ M2) & ∼ (M1 ⊂ M3) & ∼ (M3 ⊂ M1).

Y es obvio que (h’) es lógicamente incompatible con (g). Pero (g) se sigue de (T) y (h’) de (h). Por tanto, (T) y (h) son dos tesis del sistema que son incompatibles.

Un lector (I. Carcacia) hizo una consulta por Twitter a la Fundación Gustavo Bueno acerca de la fórmula (T) (aunque por razones diferentes a las que he presentado), y la Fundación aclaró que (T) contenía una errata, y que debía leerse así:

(T∗) [E = (M1 ∪ M2 ∪ M3) = Mi] & [−E = (−M1 ∩ −M2 ∩ −M3) = −Mi]

De esta fórmula ya no puede deducirse (g), de modo que se evita la contradicción. No obstante, a nadie se le escapará que (T∗) es una redundancia, ya que las fórmulas a ambos lados de la conjunción son lógicamente equivalentes. El resultado es afirmar dos veces lo mismo: “A & A”. Desde un punto de vista lógico esto es inobjetable. Pero resulta desconcertante, ya que Bueno presenta (T) como una abreviatura de la tesis central de los Ensayos. ¿Para qué emplear como abreviatura una fórmula que es innecesariamente larga? Al margen de esto, (T∗) es una corrección satisfactoria y evita con éxito la contradicción.

Nos encontramos con un problema similar, pero mucho más difícil de resolver, en la p. 190 de El Ego Trascendental. Allí Bueno presenta la “ontología del Ego categorial” mediante tres fórmulas, una de las cuales es:

(1) E ⊂ Mi

A continuación, asumiendo que Mi = M1 ∪ M2 ∪ M3, Bueno “despliega” esta fórmula recurriendo a la “propiedad distributiva de ∪ respecto de ⊂”{2}:

(1’) (E ⊂ Mi) ≡ (E ⊂ M1) ∪ (E ⊂ M2) ∪ (E ⊂ M3)

Es decir:

(1’) [E ⊂ (M1 ∪ M2 ∪ M3)] ≡ (E ⊂ M1) ∪ (E ⊂ M2) ∪ (E ⊂ M3)

Pero esta fórmula está sintácticamente mal formada, ya que el operador “U” sólo se puede poner entre símbolos de clase (e. g. M1, M2), pero en (1’) aparece entre las fórmulas “E ⊂ M1”, “E ⊂ M2” y “E ⊂ M3”, que son enunciados. Podemos considerar las siguientes correcciones:

(1’)∗ [E ⊂ (M1 ∪ M2 ∪ M3)] ≡ [(E ⊂ M1) ∨ (E ⊂ M2) ∨ (E ⊂ M3)]

(1’)∗∗ [E ⊂ (M1 ∪ M2 ∪ M3)] ≡ [(E ⊂ M1) & (E ⊂ M2) & (E ⊂ M3)]

El símbolo “≡” puede leerse como un bicondicional (como en los Principia Mathematica de Russell y Whitehead) o como un símbolo para la relación de equivalencia lógica. Ahora bien, para que “A ≡ B” exprese una equivalencia lógica, “A <=> B” (el bicondicional asociado) debe ser una verdad lógica. Pero los bicondicionales asociados a (1’)∗ y (1’)∗∗ no son verdades lógicas, y por tanto esas fórmulas no pueden expresar equivalencias lógicas. Queda, por tanto, la posibilidad de interpretar “≡” como un bicondicional.

Pero esta interpretación da lugar a otros problemas tanto en (1’)∗ como en (1’)∗∗. Empecemos considerando (1’)∗, que es la corrección más plausible dada la afinidad entre “U” y “v”{3}.

El lado izquierdo de (1’)∗ se sigue del postulado I de la ontología materialista (Ensayos Materialistas, p. 66). De modo que podemos deducir el lado derecho del bicondicional y afirmar:

(1.1) (E ⊂ M1) ∨ (E ⊂ M2) ∨ (E ⊂ M3)

Pero del postulado I también se sigue:

(1.2) (M1 ∪ M2 ∪ M3) ⊂ E

Y de esta proposición se sigue:

(1.3) (M1 ⊂ E) & (M2 ⊂ E) & (M3 ⊂ E)

La conjunción de (1.3) y (1.1) es:

(1.4) [(M1 ⊂ E) & (M2 ⊂ E) & (M3 ⊂ E)] & [(E ⊂ M1) ∨ (E ⊂ M2) ∨ (E ⊂ M3)]

Y por la propiedad distributiva de “&” respecto de “v” tenemos:

(1.5) [(M1 ⊂ E) & (M2 ⊂ E) & (M3 ⊂ E) & (E ⊂ M1)] ∨ [(M1 ⊂ E) & (M2 ⊂ E) & (M3 ⊂ E) & (E ⊂ M2)] ∨ [(M1 ⊂ E) & (M2 ⊂ E) & (M3 ⊂ E) & (E ⊂ M3)]

Pero de esto se sigue:

(1.6) [(M2 ⊂ M1) & (M3 ⊂ M1)] ∨ [(M1 ⊂ M2) & (M3 ⊂ M2)] ∨ [(M1 ⊂ M3) & (M2 ⊂ M3)]

Es decir, se sigue la disyunción de los tres “formalismos unigenéricos” (Ensayos, p. 151). Pero la postura del materialismo estaría mejor caracterizada por la negación de cada uno de los formalismos (que es precisamente la negación de (1.6)). Por tanto hay que rechazar la corrección (1’)∗.

La corrección (1’)∗∗ es todavía peor. De la misma manera que el postulado I nos permitía deducir (1.1) de (1’)∗, ahora de (1’)∗∗ nos permite deducir:

(1.7) (E ⊂ M1) & (E ⊂ M2) & (E ⊂ M3)

Ahora bien, como hemos visto, (1.3) se seguía del postulado I. La conjunción de (1.3) y (1.7) implica:

(1.8) M1 = M2 = M3.

Y esto es la fórmula (g) de más arriba, que como vimos llevaba a una contradicción con (h). En consecuencia, también hay que rechazar (1’)∗∗. Así pues, ni (1’)∗ ni (1’)∗∗ son correcciones aceptables de la fórmula (1’).

La fórmula (2’) de la ontología del Ego categorial lleva a un problema semejante:

(2’) (Mi ⊂ E) ≡ (M1 ⊂ E) ∪ (M2 ⊂ E) ∪ (M3 ⊂ E)

Es decir:

(2’) [(M1 ∪ M2 ∪ M3) ⊂ E] ≡ (M1 ⊂ E) ∪ (M2 ⊂ E) ∪ (M3 ⊂ E)

Nuevamente, se trata de una expresión sintácticamente mal formada (por la misma razón que antes). Podemos considerar dos correcciones análogas a las propuestas para (1’):

(2’)∗ [(M1 ∪ M2 ∪ M3) ⊂ E] ≡ [(M1 ⊂ E) ∨ (M2 ⊂ E) ∨ (M3 ⊂ E)]

(2’)∗∗ [(M1 ∪ M2 ∪ M3) ⊂ E] ≡ [(M1 ⊂ E) & (M2 ⊂ E) & (M3 ⊂ E)]

Si ahora leemos “≡” como un símbolo para la equivalencia lógica, resulta que la primera fórmula es falsa, pero la segunda es verdadera, ya que el bicondicional “[(M1 ∪ M2 ∪ M3) ⊂ E] <=> [(M1 ⊂ E) & (M2 ⊂ E) & (M3 ⊂ E)]” es una verdad lógica. Para intentar salvar la corrección (2’)∗, que es la más plausible, todavía podríamos leer “≡” como un bicondicional. Pero esto también tiene consecuencias inaceptables:

Al igual que ocurría antes, el lado izquierdo de (2’)∗ se sigue del Postulado I de la ontología materialista, de modo que podemos deducir la fórmula del lado derecho del bicondicional y afirmar:

(2.1) (M1 ⊂ E) ∨ (M2 ⊂ E) ∨ (M3 ⊂ E)

Ahora bien, si optamos por la corrección (2’)∗, lo natural es escoger la corrección (1’)∗ para la primera fórmula, ya que es su análoga. En ese caso podemos afirmar la conjunción de (1.1) y (2.1), es decir:

(2.2) [(M1 ⊂ E) ∨ (M2 ⊂ E) ∨ (M3 ⊂ E)] & [(E ⊂ M1) ∨ (E ⊂ M2) ∨ (E ⊂ M3)]

De esta proposición se sigue:

(2.3) {[(M1 ⊂ E) ∨ (M2 ⊂ E) ∨ (M3 ⊂ E)] & (E ⊂ M1)} ∨ {[(M1 ⊂ E) ∨ (M2 ⊂ E) ∨ (M3 ⊂ E)] & (E ⊂ M2)} ∨ {[(M1 ⊂ E) ∨ (M2 ⊂ E) ∨ (M3 ⊂ E)] & (E ⊂ M3)}

Que equivale (por la conmutatividad de “&”) a:

(2.4) {(E ⊂ M1) & [(M1 ⊂ E) ∨ (M2 ⊂ E) ∨ (M3 ⊂ E)]} ∨ {(E ⊂ M2) & [(M1 ⊂ E) ∨ (M2 ⊂ E) ∨ (M3 ⊂ E)]} ∨ {(E ⊂ M3) & [(M1 ⊂ E) ∨ (M2 ⊂ E) ∨ (M3 ⊂ E)]}

Y de esta fórmula se sigue:

(2.5) {[(E ⊂ M1) & (M1 ⊂ E)] ∨ [(E ⊂ M1) & (M2 ⊂ E)] ∨ [(E ⊂ M1) & (M3 ⊂ E)]} ∨ {[(E ⊂ M2) & (M1 ⊂ E)] ∨ [(E ⊂ M2) & (M2 ⊂ E)] ∨ [(E ⊂ M2) & (M3 ⊂ E)]} ∨ {[(E ⊂ M3) & (M1 ⊂ E)] ∨ [(E ⊂ M3) & (M2 ⊂ E)] ∨ [(E ⊂ M3) & (M3 ⊂ E)]}.

Quitando paréntesis tenemos:

(2. 6) [(E ⊂ M1) & (M1 ⊂ E)] ∨ [(E ⊂ M1) & (M2 ⊂ E)] ∨ [(E ⊂ M1) & (M3 ⊂ E)] ∨ [(E ⊂ M2) & (M1 ⊂ E)] ∨ [(E ⊂ M2) & (M2 ⊂ E)] ∨ [(E ⊂ M2) & (M3 ⊂ E)] ∨ [(E ⊂ M3) & (M1 ⊂ E)] ∨ [(E ⊂ M3) & (M2 ⊂ E)] ∨ [(E ⊂ M3) & (M3 ⊂ E)].

De cada una de estas proposiciones disyuntas se sigue una proposición más clara, de modo que, en total, de (2.6) se sigue:

(2.7) (E = M1) ∨ (M2 ⊂ M1) ∨ (M3 ⊂ M1) ∨ (M1 ⊂ M2) ∨ (E = M2) ∨ (M3 ⊂ M2) ∨ (M1 ⊂ M3) ∨ (M2 ⊂ M3) ∨ (E = M3).

Ahora bien, está claro que ninguna de las proposiciones de esta disyunción es aceptable desde el materialismo filosófico. Por tanto la corrección (2’)∗ debe ser rechazada.

II

Estos problemas técnicos que he apuntado no suponen, a mi modo de ver, un obstáculo insalvable para la formalización conjuntista de la ontología materialista. Sería inválido inferir a partir de ellos que la teoría de conjuntos debe ser abandonada como artificio lógico para este fin; bastaría con hacer modificaciones a las formalizaciones actuales para esquivar las contradicciones y errores sintácticos. Por ejemplo, bastaría con eliminar las fórmulas (1’) y (2’) del sistema.

Pero esos problemas formales no son los únicos que afectan a los artificios lógicos empleados en el materialismo filosófico, ni los más graves. Hay un problema de ambigüedad que afecta a todas las fórmulas conjuntistas con las que se ha pretendido representar tesis ontológicas.

Tomemos por ejemplo los “postulados de la ontología materialista”, que Bueno introduce en los Ensayos (pp. 66-68):

[P. I] E = (M1 ∪ M2 ∪ M3)

[P. II] Mi ⊂ M

Y tengamos en cuenta también dos formulaciones que Bueno presenta como alternativas:

[P. I’] [E ⊂ (M1 ∪ M2 ∪ M3)] & [(M1 ∪ M2 ∪ M3) ⊂ E]

[P. II’] (M1 ⊂ M) ∨ (M2 ⊂ M) ∨ (M3 ⊂ M){4}

Estas fórmulas suscitan varias cuestiones: ¿qué significan? ¿Qué tesis ontológicas están formalizando? ¿Puede darse una (y solo una) traducción de estas fórmulas al castellano?

Para responder a estas preguntas podríamos adoptar una lectura literal de los postulados (teniendo en cuenta la definición precisa de los símbolos lógicos que figuran en ellos), lo que nos llevaría a interpretarlos como una enunciación de las relaciones de inclusión entre los conjuntos designados por “E”, “Mi”, “M”, &c.

Pero esta lectura literal queda inmediatamente descartada si consideramos lo que dice Bueno más adelante (pp. 88-89):

Para construir fórmulas proposicionales a partir de los términos “E”, “M” necesitamos obviamente recurrir a functores predicativos (que sacan proposiciones a partir de términos). El functor que me parece más adecuado al caso es el de inclusión “⊂” de la lógica de Clases, aunque le daremos todavía una mayor abstracción al considerarlo simplemente como un relator antisimétrico. Las expresiones de sabor idealista: “el mundo es un contenido de la conciencia”, o bien “la conciencia contiene al mundo”, pueden hacerse corresponder de un modo muy aceptable con estas otras: “el mundo está incluido en la conciencia”, traduciendo “contener” por “estar incluido”. Sin duda, esto no puede aceptarse literalmente, pero estos ajustes son el precio de toda formulación. [...] es preciso no olvidar que la relación “⊂” (inclusión de clases) es sólo una reducción o proyección a un espacio de clases de un universo de relaciones entre términos que no consisten exclusivamente en ser clases.

Es decir, el símbolo “⊂” no representa (en las fórmulas de Bueno) literalmente la relación de inclusión entre conjuntos, sino que está “reduciendo” o “proyectando” una multiplicidad de relaciones (no necesariamente entre conjuntos). ¿Qué relaciones pueden ser estas? Creo que Bueno nos da una pista en el capítulo V de los Ensayos (“Symploké Dialéctica”). Allí discute diversas interpretaciones filosóficas de la fórmula “M2 ⊂ M1”, que se supone que condensa ciertas intuiciones de corte realista. Entre los sentidos que puede tener la “inclusión” de M2 en M1 Bueno cita los siguientes:

- Relación de parte a todo.

- Relación de causa (M1) a efecto (M2)

- Relación del objeto a la imagen.

Y en La Metafísica Presocrática (p. 28) leemos que el relator de inclusión “transcribe, más o menos, las relaciones de subordinación o de inserción, por ejemplo, del mundo en Dios”.

Supongo que podrían darse otras interpretaciones ontológicas de la relación de inclusión, pero para simplificar el argumento no las exploraré aquí. En realidad, basta con lo ya dicho para que el problema de ambigüedad se haga evidente. Si el símbolo “⊂” es una reducción, proyección o representación de todo un universo de relaciones ontológicas diferentes, se sigue que los postulados [P. I] y [P. II] son ambiguos, ya que en ellos la inclusión puede interpretarse de maneras diferentes (y ya hemos excluido la lectura literal). Este razonamiento puede extenderse a todas las formalizaciones que empleen el símbolo “⊂” en el materialismo filosófico. La conclusión de este argumento es que esas formalizaciones serán ambiguas hasta que no se especifique exactamente qué relación está representando ese símbolo. El problema de esta ambigüedad es que posibilita interpretaciones muy dispares de las fórmulas en cuestión, y no es deseable que haya tanto espacio para la interpretación en lo que respecta a las tesis centrales de un sistema ontológico.

Alguien podría objetar que este argumento invalida todas las deducciones presentadas en la sección I de este artículo. Y la razón que podría aducirse es que las deducciones lógicas que he llevado a cabo dependen (para su validez) de una interpretación literal de las formalizaciones discutidas. En efecto, en esas deducciones he asumido que “⊂” tenía todas las propiedades que tiene la relación de inclusión en teoría de conjuntos. Pero esta asunción parece estar injustificada a la luz de lo dicho por Bueno en el extracto que he citado antes.

A esta objeción respondo, en primer lugar, lo siguiente: en efecto, en las deducciones de la sección I he asumido que los símbolos “⊂”, “U”, “=”, “−” y “∩” tenían todas las propiedades que tienen las relaciones y operaciones simbolizadas por ellos en la teoría de conjuntos. Pero es importante tener en cuenta que el propio Bueno también operó bajo esta asunción. En efecto, en sus escritos encontramos varias deducciones que dependen, implícita o explícitamente, de teoremas de la teoría de conjuntos. Por ejemplo, para deducir [P. II’] de [P. II] hay que asumir el teorema “[(A ∪ B ∪ C) ⊂ D] |= [(A ⊂ D) & (B ⊂ D) & (C ⊂ D)]” (un locus classicus de este teorema es Principia Mathematica ∗22.59, generalizado en ∗40.151). Y para deducir [P. I’] de [P. I] hay que asumir el teorema “(A = B) |= [(A ⊂ B) & (B ⊂ A)]” (Principia ∗22.41).En consecuencia, si esas deducciones pueden hacerse, también pueden hacerse las que he presentado en la sección I.

Esto no resuelve todavía la objeción planteada. Meramente he mostrado que las deducciones de Bueno dependen de la misma asunción que las deducciones que yo he hecho en la sección I y que, por tanto, si la objeción es efectiva contra mis deducciones, también lo es contra las de Bueno. No obstante, creo que la objeción queda resuelta (dejando intactas mis deducciones y las de Bueno) si tenemos en cuenta lo que Bueno dice a continuación del pasaje antes citado:

[...] nuestra reducción [de relaciones ontológicas mediante el relator de inclusión] no tiene propiamente más alcance que el que atribuimos a las representaciones de los movimientos o de los tiempos, o, incluso, de los colores, en el espacio cartesiano (Descartes, regla XIV). Si existe un isomorfismo, esto es suficiente.

Mi lectura de esto es que podemos llevar a cabo deducciones empleando “⊂” sin asumir que los símbolos “E”, “M”, “Mi”, &c. simbolicen literalmente clases, y sin asumir por tanto que los postulados sean meros enunciados de teoría de conjuntos (es decir, sin asumir la lectura literal). Y la razón de esto es que, para los propósitos de Bueno, basta con “asimilar” los símbolos “E”, “M”, &c. a símbolos de clases, y relacionarlos mediante relatores conjuntistas, asumiendo que existe un isomorfismo entre estas relaciones y las relaciones ontológicas reducidas por “⊂”. Es como si las relaciones ontológicas entre E, M, Mi, M1, M2 y M3 quedaran “reflejadas” en relaciones entre clases, como cuando representamos una estructura de relaciones familiares por medio de una estructura de relaciones espaciales en un grafo, o como cuando representamos las relaciones espaciales de un continente en un mapa que cabe en nuestra mesa.

No obstante, la crítica que se puede hacer a esto es evidente. Y es que el supuesto de que exista ese “isomorfismo” no ha sido probado. ¿Por qué habría que suponer que relaciones tan dispares como “causa-efecto”, “parte-todo” y “objeto-imagen” deban ser isomorfas a la relación de inclusión entre conjuntos, o siquiera compartir propiedades formales con ella? Esto es algo que debe ser probado caso por caso. Hasta que eso no se haga, las formalizaciones de Bueno dependen de un supuesto no probado, y por tanto carecen de justificación. El resultado es que estas fórmulas dan una apariencia de exactitud, pero su efecto es el contrario, ya que no hay ninguna manera exacta de interpretarlas. (Nótese que esto ya no es incompatible con la validez de mis deducciones o las de Bueno; solo va en contra de la idea de que esas deducciones se corresponden con razonamientos ontológicos genuinos. De modo que las críticas formales de la sección I se mantienen).

Para resumir: en esta sección he argumentado dos cosas: (1) Que las formalizaciones de Bueno son ambiguas ya que “⊂” puede simbolizar diferentes relaciones ontológicas y (2) que esas formalizaciones dependen del supuesto (no probado) de que existe un isomorfismo entre estructuras conjuntistas y estructuras determinadas por aquéllas relaciones ontológicas.

III

Conviene ocuparse ahora brevemente de una objeción sugerida por Carlos Madrid en el video citado antes, ya que parece afectar a los argumentos expuestos aquí.

De acuerdo con Carlos Madrid, algunos lectores “racionalizan los postulados de la ontología materialista como si se tratara de un sistema de lógica de primer o segundo orden”, y a partir de esta racionalización critican el sistema derivando inconsistencias lógicas. Pero, según C. Madrid, estos lectores “no se dan cuenta de que eso [esos formalismos lógicos] son métodos de expresión que usa Bueno para evitar cualquier tipo de connotación metafísica”. La objeción es, pues, que no debemos tomarnos tan en serio las formalizaciones conjuntistas empleadas en el materialismo filosófico, ya que son meros artificios de expresión. Sin duda, esta objeción compromete a todas las conclusiones que he sacado aquí: compromete directamente a las conclusiones de la sección I porque cuestiona la pertinencia de hacer deducciones lógicas a partir de las fórmulas de Bueno, y compromete (aunque no tan directamente) a las conclusiones de la sección II, ya que si las formalizaciones conjuntistas son meros artificios expresivos podrían ser impertinentes las exigencias de exactitud que he hecho.

La respuesta a la objeción no presenta mayores dificultades. Concedamos que las formalizaciones empleadas por Bueno son meros artificios expresivos. Desde luego, de esto no se sigue que esas formalizaciones estén exentas del requisito de coherencia lógica. Si un sistema filosófico no está exento de ese requisito cuando se formula en un lenguaje natural, tampoco lo está cuando se presenta (aunque sea parcialmente) en un lenguaje formal. Alguien podría contraargumentar que las contradicciones aparecen solo tras procesos complicados de deducción a partir de las fórmulas de Bueno; pero si las fórmulas de Bueno son meros artificios expresivos, esas deducciones no están justificadas. A esta contrarréplica respondo lo siguiente: incluso concediendo (como ya he hecho) que las fórmulas de Bueno son artificios expresivos, de esto no se sigue que no podamos hacer deducciones lógicas a partir de ellas. Y la razón es que, como ya hemos visto, el propio Bueno llevó a cabo deducciones lógicas a partir de sus fórmulas; por tanto las deducciones que llevan a las contradicciones (si son válidas, cosa que someto a la consideración del lector), son totalmente pertinentes y están justificadas. En resumen, la objeción no invalida la crítica hecha en la sección I. Resta ver si las otras críticas quedan anuladas.

Según he argumentado en la sección II, las fórmulas lógicas empleadas para representar el materialismo tienen un defecto sistemático de ambigüedad. Resulta evidente, entonces, que la objeción de que esas fórmulas son solo “métodos de expresión” es contraproducente. Ya que entre las cosas que suelen esperarse de un método alternativo de expresión (como el que brindan los lenguajes formales) es que disminuya la ambigüedad y aporte claridad y exactitud al discurso. Si la raíz de la ambigüedad está precisamente en el método de expresión elegido (o en el modo de emplearlo), esto nos da una buena razón para prescindir de él o reformarlo radicalmente (que es precisamente la conclusión práctica que considero más plausible).

Carlos Madrid añade que las formalizaciones empleadas en el MF tienen como objetivo “evitar cualquier tipo de connotación metafísica”. Sobre esto diré que no creo que por lo general el uso de un lenguaje formal permita evitar “connotaciones metafísicas”; a lo sumo puede servir (cuando se hace bien) para dejar claro qué inferencias son legítimas a partir de un enunciado dado, o para exhibir las relaciones lógicas entre tesis. Pero estas tesis y sus consecuencias pueden ser perfectamente metafísicas; el uso de un lenguaje formal no nos libra necesariamente de la metafísica (suponiendo que esta liberación sea deseable, cosa que no discuto). No obstante, hay que reconocer que las fórmulas del MF sí evitan con éxito las connotaciones metafísicas; y la razón de esto es que (si mis argumentos son correctos) esas fórmulas evitan cualquier tipo de connotación, ya que no tienen un significado preciso.

Para responder a la objeción he concedido la premisa de que las formalizaciones del MF son simplemente “métodos de expresión”. Pero esta premisa es en sí sumamente dudosa. Desde luego, Bueno sugiere en varias ocasiones todo lo contrario.

En el siguiente pasaje, por ejemplo, se vincula explícitamente el uso de formalizaciones lógicas con la hipótesis de la sistematicidad de las ideas filosóficas (Ensayos, p. 13):

Partimos de la hipótesis según la cual las Ideas forman un “sistema” más o menos riguroso –es decir, no son todas composibles con todas de cualquier manera, mantienen conexiones “por encima de la voluntad” de quienes las usan. [...] En estos Ensayos, la hipótesis de la sistematicidad de las Ideas, por débil que sea, es mantenida hasta el fondo, de la única manera que puede intentarse: mostrando el sistematismo en concreto. En este servicio, utilizaremos aquí algunos formalismos lógicos, si bien reducidos al mínimum.

Más adelante (p. 70), refiriéndose al diagrama en el que recoge las principales formalizaciones que ha presentado, afirma:

El diagrama que figura en el capítulo VI da una idea de las relaciones “geométricas” que se establecen entre los conceptos ontológicos desarrollados según el sistema aquí propuesto. En este sentido, no debe tomarse este diagrama como un mero esfuerzo didáctico –pues quizá con el esquema se complique aún más la cuestión–, sino como una representación de relaciones objetivas entre ideas.

Y después, más explícitamente (p. 100):

La discusión de las fórmulas anteriores [pp. 87-100], tan árida, aunque ha sido abreviada, tiene por objeto, principalmente, sugerir la impresión de que las Ideas ontológicas, no por ser ontológicas, dejan de estar sometidas a la mecánica de la lógica formal, y pueden ser tratadas como se tratan conceptos categoriales mucho más precisos, como pudieran ser “triángulo” o “círculo”.{5}

Creo que esto muestra suficientemente que el uso de la teoría de conjuntos no era para Bueno un mero artificio expresivo, sino que iba más allá: pretendía representar conexiones objetivas entre Ideas, mostrando que entre ellas caben relaciones lógicas precisas. Por tanto, la objeción de que no debemos tomar esas formalizaciones con el máximo rigor no es efectiva contra los argumentos aquí presentados, ya que depende de un supuesto incorrecto. Y ni siquiera concediendo ese supuesto se seguiría la conclusión, como ya he demostrado.

——

{1} “Pluralismo y discontinuidad en el Materialismo Filosófico”, nodulotv, 9 mayo 2019: youtube.com/watch?v=iNXJ0oGcRYE

{2} No existe tal propiedad. Por definición, una operación ° es distributiva respecto a una operación ∗ en un conjunto A si y solo si, para todo x, y, z en A, tenemos que x°(yz) = (x°y)∗(x°z) y que (xyz = (x°z)∗(y°z). Ahora bien, “U” es una operación en cualquier familia de conjuntos, pero “⊂” es una relación, no una operación. En consecuencia, “U” no puede ser distributiva respecto a “⊂”, por la misma razón por la que “+” no puede serlo respecto a “<” o “=”.

{3} Esta afinidad se observa en que la definición de “U” en teoría de conjuntos es en términos de “v”: A ∪ B =df {x: x ∈ A ∨ x ∈ B}.

{4} Bueno presenta esta fórmula como “equivalente por definición” a [P. II]. Pero esto no es correcto. [P. II’] es una consecuencia lógica de [P. II] si asumimos como premisa intermedia que Mi = M1 ∪ M2 ∪ M3, pero [P. II] no es consecuencia de [P. II’] ni siquiera asumiendo esa premisa intermedia, de modo que no son fórmulas equivalentes. La equivalencia sí se da entre [P. I] y [P. I’].

{5} Compárese con Spinoza, Ética, parte III, prefacio: “Trataré, pues, de la naturaleza y de las fuerzas de los afectos, y de la potencia del alma sobre ellos, con el mismo método con que en las partes precedentes he tratado de Dios y del alma, y consideraré las acciones y los apetitos humanos igual que si fuese cuestión de líneas, superficies o cuerpos”.

El Catoblepas
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