El CatoblepasSeparata de la revista El Catoblepas • ISSN 1579-3974
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El Catoblepas

El Catoblepas · número 184 · verano 2018 · página 4
Artículos

El orden del discurso y la razón del silencio

Ezequiel Martínez

Entrevista con el matemático Antonio Carlomán en 1999

Antonio Carlomán

Antonio González Carlomán (1928-2016) se licencia en Física por la Universidad de Zaragoza, se doctora en Matemáticas por la Universidad de Oviedo y desempeña la cátedra de Didáctica de la matemática en la Escuela Universitaria de Magisterio de esa ciudad hasta su jubilación. Su obra comprende un conjunto de varios títulos de diversa temática-matemática. Ha dictado cursos de “Lógica matemática”, “Lógica polivalente”, “Geometría plana”, “Didáctica de la lógica matemática”, “Estructuras inducidas del grupo de Piaget” y escrito artículos tan sugestivos como “Estudio elemental del último Teorema de Fermat”. La revista El Basilisco publicó varios de sus artículos: “Teorema de deducción” (13:45-47, 1ª época), “Algebraización de una lógica polivalente” (14:2-8, 1ª época), “Grupo de Piaget y estructuras afines” (4:12-18), “Estudio elemental del último teorema de Fermat” (23:31-36), “Reducción de la Axiomática proposicional de Russell” (26:65-66), “Ordenación de los números complejos” (27:69-74), “Acomodación didáctica al pensamiento matemático del siglo XX” (33:57-62), revista donde Gustavo Bueno analizó su Estructura lógica de la geometría clásica del plano en “La inconmensurabilidad de los géneros” (1:91-94).

Cuando se realizó esta entrevista (en la Facultad de Ciencias de la Educación de Oviedo, mes de febrero de 1999; los únicos medios disponibles fueron: papel y lápiz el entrevistado, papel y bolígrafo el entrevistador) estaba preparando la “Didáctica del espacio vectorial de los números hipercomplejos”.

Antonio Carlomán da de inmediato la medida de un hombre impar, que de su conversación no desprende ningún mezquino detalle a ras de suelo.

Pero todo esto, con ser grato, no supone más que una mera aproximación superficial. La medida íntima está en su respuesta a una pregunta proposicional sobre la lección más importante que haya recibido en los largos años de frecuentación de la cultura y la ciencia matemática: “La matemática es un lenguaje taquigráfico”, dice.

Ezequiel Martínez. Antonio, ya sé que te habrán formulado muchas veces esta pregunta, pero resulta obligada. ¿Por qué se tiene la creencia de que en las Matemáticas predomina más el espanto que el placer?

Antonio Carlomán. Yo también fui el primero que sufrí el espanto por falta de lenguaje suficiente y de mecanismos lógicos para con ellos encontrar el placer de las matemáticas. Te voy a poner un símil: El carpintero para realizar su trabajo necesita herramientas: cepillos, escofinas, formones... sin los cuales es imposible trabajar. Igual sucede con las matemáticas, necesitas herramientas: mecanismos lógicos. Porque las matemáticas se meditan con el apoyo de la lógica.

Por lo general se tiene la idea de que la mentalidad del matemático es diferente a la del músico, físico, arquitecto,... ¿En buena lógica esto es así?

La mente es igual. Todas las ciencias son indiferentes para la mente humana Cambia el temperamento. Ahora bien, la música es un sentimiento sin conocer los principios de las matemáticas. Sin embargo, cuando el martillo golpea el yunque, la intensidad de los sonidos varía según la fuerza de percusión. La escala tonal corresponde a la proporción armónica 12: 8: 6, en la que 12: 6 es la octava, 12: 8 la quinta y 8: 6 la cuarta, en este sentido existen varias conexiones para un matemático o un músico.

¿Crees que tienes oído para la música?

Sí, escucho mucha música, sin conocer el título de las obras.

¿Por qué las leyes de la naturaleza son matemáticas? Dicho con otras palabras, la matemática cuando se aplica al mundo físico funciona extraordinariamente bien, sin embargo, no está nada claro que cuando se aplica a las leyes sociales... la cosa es diferente.

La frase de Einstein de que “Dios no juega a los dados” es cierta. Ya Tolomeo (siglo II) en su obra Almagesto intenta explicar el mundo de forma matemática. La concepción del mundo a partir de la Baja Edad Media responde a la metáfora del reloj que funciona con leyes matemáticas. Además su sistema explicativo es lógico. Por otro lado, el crecimiento orgánico, el interés continuo o la masa celular responden a fórmulas bien conocidas. Todo está matematizado o sabemos estudiar el mundo con leyes matemáticas.

Habitualmente los niños se ejercitan en la escuela con el cálculo mental. Ahora bien, si definimos la lógica como la ciencia del razonar ¿qué sentido tiene esta práctica?

En la escuela se debería enseñar a razonar, comprender, para que las cosas tengan un sentido. Por ejemplo: cuando a un niño le preguntamos los años que tiene, sin decir nada levanta dos dedos. Tienen un arte para saberlo. Cierto que siguen las reglas sin saberlo, pero las siguen. El maestro debería darse cuenta de lo que hacen ocasionalmente deberían hacerlo siempre. Igual digo de la suma, sustracción, multiplicación o división, porque es la Naturaleza, como diría Condillac, la que ha empezado por ellos. Es el llamado aprendizaje significativo. Una vez adquiridos los mecanismos lógicos, que por otra parte son imprescindibles, se llega a la automatización, se necesita mejorarla a través de ejercicios adaptados a la etapa evolutiva del niño. Este ha sido un aspecto que he desarrollado en mi libro Lógica matemática para niños.

Siguiendo en una vena similar ¿estás de acuerdo con Piaget?

Como sabemos Piaget considera que la causa fundamental del equilibrio intelectual en el niño es la adquisición por parte de éste de la estructura de grupo (el grupo de Klein). De las cuatro etapas en que Piaget divide la evolución de la inteligencia en el niño estoy en desacuerdo, no por motu proprio, sino por razones de peso en la cuarta etapa (de los 11-12 a los 14-15 años) llamada de Operaciones Proposicionales o Formales. Es el ejemplo de una mujer de Sotrondio que contaba los vagones del tren con bloques de cinco palotes (los dedos de una mano) sin que haya adquirido como subraya Piaget las 16 operaciones lógico proposicionales. En ese momento saca un lápiz de la chaqueta y sobre un papel realiza una exposición del grupo INRC o de las cuatro transformaciones (identidad, negación, reciprocidad, correlatividad.)

¿Crees en la inspiración?

Sí. Pero viene por algo (por darle vueltas y vueltas a la materia). Las estructuras mentales están conexionadas. Lo mismo sucede con la intuición que está dentro y de vez en cuando la agarras.

Un hombre de la vitalidad de Nietzsche al escribir sobre el origen de la lógica se pregunta: ¿Cómo se formo la lógica en la cabeza del hombre? Y se responde “Sin duda mediante lo ilógico” ¿Es cierto?

El orden o la lógica binariasurge para responder a las conductas humanas. Para Wallon la estructura básica es la pareja (la cupla) es o no es, y el niño adquiere los conceptos por comparación, y tal comparación la hace mediante asociación de parejas. Asocia las parejas atendiendo a lo que tienen en común o a lo que tienen de opuesto. Tiende a asociar una clase con su opuesta: alto-bajo, gordo-delgado. Por ejemplo, un árbol, o es grande, o es pequeño, y no se le ocurre formar clases que se diferencian centímetro a centímetro.

Lo ilógico produce angustia. El caos o la mezcla de razón y sinrazón en la mente humana provoca pesadillas. Al menos eso es lo que me ocurre a mí, y cuando me siento incapaz de ordenar mi mente o no me aclaro en un problema me produce fatiga intelectual.

Quizá en este sentido Nietzsche tenía razón... Parece ser que padeció en vida su propio pensamiento.

Werner Sombart decía que si se le exigía que pusiera fecha a la inauguración del capitalismo, señalaría el año 1202 de nuestra era, momento en el que apareció el Liber Abbaci, de Leonardo Pisano, que es el primer tratado popular de aritmética ¿Es posible que el hábito de usar abstracciones matemáticas incida de una forma tan determinante en la vida de la gente?

El aprendizaje supone transferencias, es decir, alteraciones de las actividades en el futuro. Así es posible aceptar que el ábaco diese acceso al cálculo con números grandes, facilitando la contabilidad de negocios y haciendas en la vida cotidiana de los pueblos o ciudades. En realidad, no cabe duda que tuvo transcendencia en la vida de la gente. Tras una breve pausa, es curioso pero ahora que lo recuerdo en los años cuarenta no había calculadoras y claro las nóminas de los obreros se realizaban manualmente, suponiendo un número considerable de contables.

Cuando L. Mumford habla del lenguaje dice que no sólo abrió a la conciencia las puertas de la mente, sino que, en parte le cerró las puertas del sótano – la subconsciencia. Con la construcción de el universo del discurso del colectivo de números naturales, de enteros, de racionales, de reales o de complejos ¿qué puertas abrió y qué puertas cerró?

En primer lugar, la construcción del colectivo de los números naturales implica un orden, y de ese orden construimos los números cardinales y los ordinales, y de este nuevo orden salen... Luego construyes. En segundo lugar, la intuición del tiempo kantiana, que separa al hombre del resto de los animales por su capacidad de abstracción con el Antes, Ahora, y el Después supone una ordenación. Uno de los métodos más conocidos de la antigüedad era el que usaban los babilónicos “Las cuñas”, que se basaba en dos símbolos; uno para los unidades del uno hasta el diez (cuña vertical) y; otro para representar las decenas (cuña horizontal) que evitaban las excesivas repeticiones. Mas recientemente los números transfinitos de Cantor... Sinceramente no veo que haya cerrada ninguna puerta.

En tu obra concedes importancia capital, que es natural por otra parte, a las leyes lógicas o propiedades de las colectividades de las cosas. Es decir, al determinismo, pero entonces ¿qué papel juega la novedad y la creatividad?

Hay mucho que decir. Si bien es cierto que gran parte de las matemáticas son deterministas, también lo es que la mecánica- estadística no es determinista, pues busca la media.

Conocemos el caso de la fórmula potencial de Fermat de la que salían todos los números primos. Mas tarde Cantor demostró que los cálculos eran erróneos. Una ojeada retrospectiva nos enseña que las matemáticas estuvieron secuestradas por el pensamiento griego desde Tales por nombrar un referente del siglo VI a.C., hasta finales del siglo XIX con Cantor por citar otro nombre. Para resumirlo, no hemos hecho nada más que comenzar. Los campos de investigación son inmensos.

Ya que has nombrado a Fermat podías hablarnos sobre tu artículo “Estudio elemental del último teorema de Fermat”.

A Fermat lo tomé como hobbie. Del cual me arrepiento. Estuve más de cinco años dándole vueltas hasta que un verano encontré un cambio de variables x,y,z Î N* (N* = N - í0ý a las u,v,w Î N* tan productivo que me permitía transformar en una identidad la ecuación pitagórica famosa x2 + y2 = z2

Después por el teorema de congruencia del mismo Fermat demostramos que las soluciones para x = w + u; y = w + z; z = w + u + v dando valores de N*, pares o impares indistintamente, obtendríamos infinitas soluciones x,y,z, primas entre sí dos a dos. La conclusión es que deberíamos reafirmarnos en la posibilidad de demostrar el teorema con la matemática de su tiempo, particularmente en el álgebra abstracta.

Se le atribuye a Fermat sentido del humor ¿Crees que tienes sentido del humor?

Puede que sí.

Alef-cero (Todos los conjuntos infinitos numerables son entre sí equivalentes, según Cantor) y el Aleph (Todas las fantasías finitas innumerables son entre sí contradictorias, podría decir Borges). Dicho de otro modo, ¿por qué el matemático tiene la cultura del hombre de letras y éste generalmente es anaritmético?

El lenguaje de las ciencias sociales en parte se aprende cerca de la madre cuando eres pequeño; en la calle, con los amigos, es decir, en cualquier espacio. Sin embargo, el lenguaje matemático se aprende en lugares determinados como en la escuela, por ejemplo. Esto quiere decir, que las posibilidades de saberlo son menores. Hay poca práctica. Principio de razón suficiente del escaso éxito de las matemáticas.

Respecto a la segunda parte de la pregunta, cuando leo a Quevedo, Valle-Inclán, García-Márquez... y no me gusta desde el principio lo dejo. No insisto. También he de confesar que me sirven para relajarme. Jamás discuto de literatura. Soy un lector anónimo.

¿Qué autores españoles te parecen máximos exponentes de las matemáticas, históricamente y actualmente?

En España las matemáticas nunca tuvieron acomodo, ni auge. Quizá debido al desarrollo humanístico de otras épocas lo refleja muy bien la desafortunada frase de Unamuno de época contemporánea: ¡Que inventen ellos! Lo cierto es que a nivel internacional no hemos tenido figuras como Italia, Peano; Inglaterra, Russell; Alemania, Gauss. A nivel nacional, por citar alguno, señalaré a Rey-Pastor o Puig-Adam. A nivel local el matemático Pedrayes, más conocido por la calle de Oviedo que por sus publicaciones.

Antonio, para terminar ¿qué es la vida?

Como definición podíamos decir que es el paso del nacimiento a la muerte. Pero si me preguntas ¿Y tú como la viviste o la vives? Te responderé que como norma de vida he carecido de impulsos de poder y busqué la felicidad en no desear materialidades.

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