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El Catoblepas, número 162, agosto 2015
  El Catoblepasnúmero 162 • agosto 2015 • página 9
Artículos

Didáctica de las Matemáticas
desde un enfoque materialista II:
Aplicación a la Didáctica del Cálculo Infinitesimal

Sergio Vicente Burguillo

Segunda parte de una serie de investigaciones acerca de una didáctica constructivista e histórica de las Matemáticas desde la perspectiva materialista de la Teoría del cierre categorial.

Fluxiones Newton

3. Estado de la cuestión

El orden en el que enseñan hoy los conceptos asociados al Cálculo es muy distinto del orden en el que se fueron descubriendo.

La secuencia histórica en la que surgen los conceptos fundamentales involucrados en el Cálculo es, como veremos, Integral-Derivadas-Límites-Funciones-Reales, suponiendo que los tres últimos se descubren cuando su justificación pasa por la formalización. No es menos cierto que la definición de la integral o de la derivada depende hoy de los límites y de la definición de los números reales. Sin embargo, en la enseñanza de estos conceptos no se tiene muy en cuenta el orden histórico o genético. Los manuales de Cálculo [ver por ejemplo los manuales clásicos de Apostol (1996) o Spivak (1988)] comienzan definiendo los números reales mediante los axiomas de cuerpo, orden y completitud, todo ello en el lenguaje en el que se escriben y desarrollan hoy las matemáticas formalizadas. Se define después el concepto de función como una aplicación unívoca a la derecha entre dos conjuntos. En capítulos posteriores se introduce el concepto de límite de funciones mediante la definición épsilon-delta de Weierstrass-Heine (de 1872). La derivada, por su parte, no será sino un caso particular de límite. Y, por último, la integral de Riemann se definirá como la igualdad de las sumas inferiores y superiores de los rectángulos asociados a particiones del intervalo donde se quiere calcular el área de la función.

La enseñanza secundaria está en la misma corriente. En efecto, si tomamos un libro de una famosa editorial, de Bachillerato{1}, veremos que el bloque dedicado a Análisis Matemático está dividido en varios capítulos. Se empieza con límites y sucesiones. Se sigue con funciones, derivadas e integrales. Los números reales no se estudian ni siquiera en 2º de Bachillerato. Es un orden de enseñanza inverso al de su descubrimiento. Basta leer, para confirmar lo anterior, los documentos legales, por ejemplo, el REAL DECRETO 1467/2007, de 2 de Noviembre, o el REAL DECRETO 1105/2014, de 26 de diciembre.

4. Historia de los conceptos del Cálculo con indicaciones sobre propuestas didácticas

Se hará un recorrido a continuación por las principales corrientes por las que discurre la Historia del Cálculo, recalcando las Ideas que nos interesan, para poder luego llevar a cabo una propuesta didáctica con garantías. En el curso de esta explicación, no obstante, se irán ofreciendo actividades con posible aplicación en la enseñanza secundaria.

4.1 El Cálculo en la Antigüedad

No se puede decir con seguridad que en las civilizaciones sumeria y egipcia se tratara con sistematismo y complejidad filosófica los conceptos involucrados en el Cálculo, que siempre implican, sin ir más lejos, el tratamiento con la Idea de Infinito.

Los egipcios se vieron obligados a calcular áreas y volúmenes (por ejemplo de las pirámides) y se las tuvieron que ver con aproximaciones de números irracionales, como la del número p; pero no mostraron que sepamos excesivo interés por los problemas subyacentes. Algo parecido diremos de los sumerios y babilónicos (que el historiador Boyer llama “mesopotámicos” genéricamente), aunque sí debemos subrayar que contaban con un algoritmo para calcular, con la aproximación que se quisiera, las raíces cuadradas de enteros positivos{2}.

Será en Grecia, sin embargo, donde aparecerán las Ideas principales acerca del Cálculo Infinitesimal. Con sus métodos, paradojas e intentos de solución.

El primer hito que cabe señalar es el del descubrimiento de los inconmensurables. Dentro de la metafísica presocrática (cf. Bueno, 1974) había una corriente, la pitagórica, que ponía el arché o principio ontológico de todo lo real en los números naturales. Las cosas del mundo podían hacerse corresponder con los números naturales, y las relaciones entre estos explicarían a su vez las relaciones entre las cosas. Quedaba, por tanto, fijada la racionalidad pitagórica en la racionalidad de los números llamados precisamente “racionales”. Ahora bien, el descubrimiento de los números irracionales (definición puramente negativa, obsérvese) supuso el principio del fin de esta cosmovisión, aunque no supondría su completo eclipse, pues estas ideas sobre la sustantivación de las estructuras matemáticas ha sido fuente constante de interpretaciones acerca de la relación Ontología-Matemáticas. Así, se puede citar al Platón del Timeo o al mismo Galileo (“el mundo está escrito en caracteres matemáticos”). En realidad, en la mayoría de los matemáticos subyace, como Filosofía espontánea (es decir, no meditada lo suficiente, o no confrontada con otras posiciones) un pitagorismo más o menos latente (se ha hablado de esto en el punto 2.2).

Otro hito que marca definitivamente las investigaciones sobre el Infinito y el Movimiento para siempre serán las paradojas de Zenón, de la Escuela eleática de Parménides. Zenón argumenta que si suponemos el tiempo y el espacio como discretos o continuos, entonces el movimiento es imposible{3}.

No se puede hacer equivalente el descubrimiento de los inconmensurables con el de los números reales por varias razones. Primero porque se tenía un conocimiento negativo de estos números (los que no son conmensurables), y porque tampoco se contaba con los instrumentos necesarios para su estudio, como pueda ser la distinción entre números algebraicos y trascendentes o las distintas clases de infinito de Cantor. Además de que no será hasta las cortaduras de Dedekind (de 1858) cuando se puedan definir estos números con el rigor que la formalización permite. Lo que tampoco quiere decir que hayan quedado resueltos los problemas filosóficos de fondo.

Es, sin embargo, en la Academia platónica donde aparece un método, el exhaustivo de Eudoxo, que implicaba procesos infinitos, y que dará paso al Cálculo Integral, al menos en sus métodos fundamentales. Esto puede resultar paradójico o chocante, sobre todo desde la perspectiva de los docentes que dejan para el final de sus explicaciones sobre Análisis a la Integral. Hasta Eudoxo, solo se tenía un tratamiento negativo con el Infinito, el asociado a los inconmensurables, pero ahora se dará un tratamiento positivo y exitoso del mismo, por medio de la identidad de dos cursos operatorios convergentes. Merece la pena detenerse aquí, puesto que aquí reside la constante en el tratamiento con el Infinito que siempre ha acompañado al desarrollo matemático del Cálculo Infinitesimal. El Infinito siempre ha traído limitaciones, tanto gnoseológicas y cognoscitivas, como operatorias, ya que el hombre (el sujeto gnoseológico, el técnico o el científico) no puede operar con los infinitos actuales, sino tan solo con infinitos potenciales{4}. Pues bien, estas limitaciones se han resuelto por medio de las identidades sintéticas. En el caso de Eudoxo esto significa lo siguiente. El teorema XII, 2 de los Elementos afirma que el área de dos círculos es proporcional al cuadrado de sus diámetros (a/A = d²/D²). En la demostración se usa el método exhaustivo de Eudoxo en una doble reducción al absurdo. Primero se supone que la proporción entre áreas es falsa, con a/A > d²/D²; esto implicaría, como muestra Euclides, que el área del polígono inscrito en la circunferencia es mayor que el área del círculo en el que se inscribe; como esto es imposible, se deduce que la desigualdad > es falsa. Se demuestra con un razonamiento similar que a/A < d²/D² es absurdo acudiendo ahora al polígono circunscrito en el círculo. El teorema concluye, pues, que a/A = d²/D².

Enseñar este teorema en secundaria o bachillerato puede ser muy provechoso. Primero por su interés histórico, que serviría muy bien para enmarcar la problemática de los números reales. Segundo, porque es un canon de demostración y, tercero, por el contenido mismo del teorema. Además, es una buena manera de mostrar la belleza y potencia de los Elementos, a menudo olvidados en nuestros planes de estudio.

Es importante detenerse, con todo, en esta demostración, porque pone en claro el hecho de que, a pesar de que se incorporen Ideas filosóficas en las Matemáticas, como la de Infinito, que desbordan la capacidad operatoria del matemático (en particular del alumno o del docente), sin embargo se acude a un razonamiento que hace exitoso el tratamiento positivo del problema, y que concluye en una verdad o teorema dentro del contexto determinado (y determinante) por los materiales propios de la Geometría (círculos, segmentos, polígonos). El Cálculo siempre buscará una salida a las limitaciones operatorias que traen los procesos infinitos. En el caso del siglo XVII los razonamientos se irán consolidando, sobre todo, en torno a las series infinitas, que supondrán un paso importante en lo que se ha llamado la Aritmetización del Análisis (cf. Boyer, 2003).

Se debe citar, en el ámbito del Cálculo en Grecia, a Arquímedes como máximo exponente y conocer de los procesos infinitos involucrados en el cálculo de áreas y volúmenes, tales como el área del círculo o el volumen de la esfera o cono. Utilizará el método exhaustivo de Eudoxo, así como la propiedad arquimediana también inspirada en el propio Eudoxo{5}. Es importante señalar que Arquímedes se ayuda a menudo en sus razonamientos de aparatos como palancas, fulcros o pesos, algo que se retomará en el nacimiento de las ciencias físicas, con una mirada sobre todo cinemática o dinámica antes que estática (Galileo, Newton), y que supondría una cierta continuidad con Arquímedes, aunque no con la Academia platónica y el resto de corrientes griegas.

4. 2. El Cálculo en la Modernidad.

También es destacable la utilización de los indivisibles en las construcciones de Arquímedes, retomadas en el XVII. Esta idea será la que usarán Galileo, Cavalieri o Kepler en este siglo. Es la noción de los “infinitos infinitésimos”. Por ejemplo, la idea de que la recta está hecha de infinitos puntos o de que los cuerpos sólidos pueden dividirse en infinitos planos. Con esta imprecisión lógica o filosófica{6}, se consiguieron hallar, sin embargo, multitud de áreas (Cavalieri con la parábola x² o en general con curvas de exponente de 1 a 9; Kepler hallará el área de la esfera). Este uso libre y a menudo despreocupado del infinito es muy frecuente en los siglos XVII y gran parte del XVIII, incluyendo a Newton y Leibniz. Esta presumible dejadez tendría que ver con el éxito práctico de sus operaciones. Lo cierto es que Kepler o Cavalieri consiguieron calcular las áreas de las figuras que se propusieron. La cuestión de la fundamentación quedaría aplazada. Boyer (1949, p. 115) habla en este punto de un “atomismo matemático acrítico”.

Demos un salto definitivo al siglo XVII. Otro hito en la Historia del Cálculo será la construcción de la Geometría Analítica de la mano de Descartes{7} y Fermat{8}. Este paso es importante, porque el tratamiento geométrico de las curvas se hace más manipulable, más plástico, a partir de su tratamiento algebraico. Es destacable, por ejemplo, el tratamiento de Descartes de o como cantidades aritméticas, y no meramente como entidades geométricas como el cuadrado o el cubo, respectivamente, como se había considerado hasta entonces. Esto será importantísimo en la fase de aritmetización del análisis, pues solo de esta manera se hace posible la manipulación de series infinitas.

En este punto debemos considerar, en el marco de este trabajo, el hecho de que el álgebra que se enseña en las Escuelas, desde los primeros cursos de la ESO, no es anterior al siglo XVII; sin embargo, las ideas básicas del cálculo integral datan de la época de Eudoxo. ¿Por qué entonces se espera hasta el último curso de Bachillerato para enseñarlas?

Es común considerar a Newton y Leibniz como los verdaderos descubridores del Cálculo Infinitesimal, pero hay que poner cota a estas afirmaciones y matizarlas. Es importante tener presente, primero, todo lo ya comentado sobre Eudoxo, Arquímedes, Galileo, Cavalieri o Kepler.

Y segundo, es pertinente recordar los problemas entre los que surge el Cálculo. Se pueden mencionar al menos cuatro. Estos problemas son una fuente constante de ejercicios o actividades que el docente puede usar en sus clases. De hecho, sin ir más lejos, en la propuesta de este trabajo, se ofrecerán actividades que utilizan problemas históricos tales como los siguientes:

i) El primero destacable es el de las cuestiones relativas al movimiento. Hallar la velocidad y la aceleración de un cuerpo conocida la distancia que recorre en función del tiempo. Y aquí es de justicia mencionar a Nicolás de Oresme, que en el siglo XIV trató este tipo de problemas resolviendo lo que hoy diríamos que es la integral de la función f(x) = x en un intervalo T de tiempo. La cuestión más difícil de tratar en cuanto a la velocidad era la velocidad instantánea. Nótese que lo que esto significa es que en el siglo XVII el tratamiento ya no es estático, como podríamos grosso modo decir que fue en Grecia (salvando a Arquímedes), sino que son de orden cinemático y dinámico, lo que implicará un enfoque distinto traído de multitud de experimentos realizados con aparatos{9} que marcan el paso de las ciencias.

ii) El segundo tipo de problemas que cabe citar es el relativo al cálculo de tangentes, procedente sobre todo de la Óptica{10}, donde era esencial saber el ángulo reflejado sobre las superficies. Este tipo de problemas son interesantes rescatarlos de cara a la enseñanza de la derivada como recta tangente.

iii) Como tercer tipo de problemas hablamos de los problemas de máximos y mínimos, no solo en el sentido de lo que hoy llamamos optimización.

iv) Y el cuarto tipo de problemas tal vez es el más clásico de todos, y que no es otro que el de la rectificación de curvas (recordemos a Eudoxo o el célebre problema Dédalo de la cuadratura del círculo).

Cabe pensar, como decía Laplace (y Boyer respalda), que fue Fermat el verdadero inventor del Cálculo Diferencial. Dejando de lado posibles cuestiones patrioteras no ajenas a estas discusiones, lo cierto es que no le falta razón.

Si tenemos en cuenta los cuatro tipos de problemas señalados, podemos decir que Fermat aborda con éxito tres de ellos. En el tratamiento del problema de los máximos y mínimos y el de las tangentes podemos decir que están las ideas básicas del Cálculo Diferencial{11}. En efecto, Fermat en su obra de 1637 Methodus ad disquirendam maximan et miniman considera que para que exista un máximo o un mínimo es necesario que la curva en el punto x y en las proximidades x + E estén muy próximos, tanto que los iguala. Después divide esa cantidad por E y con la cantidad que le queda hace E = 0. Las ideas de Fermat son las mismas con las que, formalizaciones aparte, nos acercamos hoy a estos problemas.

Pues bien, nos encontramos, de la mano de Fermat, con las primeras ideas acerca de la construcción del Cálculo Diferencial, en el contexto de la búsqueda de máximos y mínimos de funciones. En este punto es importante hacer observar que las derivadas no nacen formalizadas, ni mucho menos, sino como respuesta a necesidades prácticas.

Fermat también tenía un método de cálculo de tangentes, mediante el triángulo característico, conocido hoy gracias a Leibniz, pero que el francés ya utiliza; no solo él sino incluso antes ya Pascal y luego también Isaac Barrow, profesor de Newton.

Fermat dio, asimismo, una fórmula general para el cálculo de integrales de monomios de cualquier orden, con un proceder muy similar al de Riemann. Resolviendo de este modo también problemas relativos a cuadraturas.

4.3. Newton y Leibniz

Newton y Leibniz contribuyeron de manera decisiva al avance recto del Cálculo. Comienza la Aritmetización del Análisis (“Cálculo Sublime” se llamaría entonces, no sin cierto misticismo). Un personaje importante en esta etapa de aritmetización fue el inglés John Wallis con su obra de 1655 llamada, sintomáticamente, Arithmetica infinitorum, donde se acercaba al cálculo de áreas de monomios mediante cociente de series infinitas, algo que sería ampliamente desarrollado por Newton y Leibniz. A Newton se debe el uso sistemático de series, generalizando métodos y resultados. En este sentido debemos mencionar el famoso teorema del binomio en el cálculo de series, tanto finitas como infinitas. Los historiadores informan que lo desarrolla en el annus mirabilis de 1665-66. En resumen, como dice Boyer (1993, p. 19), Newton argumenta que estos algoritmos matemáticos que lindan con procesos infinitos son tan respetables como los que se aplican al álgebra ordinaria. Newton, por tanto, está normalizando (en un sentido gnoseológico, científico) el uso del infinito en los procesos algebraicos, y aquí posiblemente reside una de los motivos para considerar al inglés como el “descubridor” del Cálculo. Newton, asimismo, aplica procedimientos del Cálculo a cualquier tipo de funciones (aunque no se tuviese muy claro todavía lo que era una función, algo para lo que habría que esperar a Euler, y para la definitiva formalización, a Dedekind y Cantor). Otra cosa que se debe atribuir a Newton es la perspectiva de la dualidad derivada / integral, que él llamaba fluxiones y fluentes respectivamente, y que hoy conocemos como Teorema Fundamental del Cálculo. En cuanto a la enseñanza secundaria, podría ser fructífero acercarse al Cálculo de Newton desde las series infinitas o el famoso binomio, que se puede aprovechar para introducir. Asimismo, se puede explicar el Teorema Fundamental del Cálculo, y ver las derivadas e integrales como operaciones recíprocas, tal y como las entendió y explicó el propio Newton.

De Leibniz podemos destacar multitud de trabajos. La historiografía conviene en señalar que lo más destacable del alemán con respecto al inglés fue la notación que usó, y que hoy aún perdura. En efecto, se trata, por ejemplo, de los famosos cocientes incrementales, dy/dx. La dificultad objetiva del manejo de los conceptos del Cálculo se puede muy bien medir con este uso que precisamente hoy en día se hace de esta notación, donde dy/dx es tratado literalmente como un cociente, y cuyo uso es frecuente por ejemplo en la resolución de ecuaciones diferenciales; sin embargo, considerar la derivada como un cociente de infinitésimos quedó formalmente superado con la definición de derivada por límites. Es justamente este empeño de eliminar los infinitésimos lo que podemos considerar el vector director de la fase de aritmetización del análisis desde Lagrange o Cauchy hasta Dedekind y Cantor, pasando por Weierstrass y su escuela. Un posible acercamiento al enfoque de Leibniz en secundaria (o enseñanza universitaria, por qué no) es, pues, el de su notación y lo que ello implica.

De Leibniz, asimismo, merecen destacarse otros trabajos relativos a la generalización del uso de series y su desarrollo en algunas funciones en particular, como la de la función arco tangente, donde como caso particular puede hallarse una buena aproximación (en el sentido de convergencia) de p. Hemos mencionado ya el uso del triángulo característico de Leibniz, con precedentes en Pascal, Fermat y Barrow, pero lo propio del autor de la Monadología fue añadir el uso del triángulo para hallar soluciones de ecuaciones diferenciales; en concreto, del problema planteado por el cartesiano Florimon de Beaune: encontrar las curvas de subtangente constante, y cuya solución tiene que ver con la función exponencial. En cuanto a aportaciones relativas a la derivada, podemos añadir muchas reglas debidas a Leibniz, como la famosa regla del producto: d(xy) = xdy + ydx. A partir de la cual puede demostrarse la regla del cociente y otras. Como actividad escolar puede proponerse el cálculo de la derivada del cociente, d(x/y).

En resumen podemos decir que tanto Leibniz como Newton consiguen vincular de una vez para siempre derivadas e integrales. Que contribuyen a un tratamiento general, con métodos y procedimientos específicos del Cálculo, iniciándose la senda de formalización mediante la aritmetización. Es importante señalar los caminos que llevaron a esta gran convergencia. Podemos destacar la importancia de la geometría analítica de Descartes, del tratamiento con series finitas e infinitas, así como de una notación necesaria para el desarrollo de cualquier ciencia formal. Descartes hace grandes avances, pero es de justicia citar los trabajos previos de Jerónimo Cardano en su Ars Magna, las ecuaciones cuárticas de Luis Ferrari, a Rafael Bombelli y sus ecuaciones cúbicas y números complejos, o a Roberto Recorde y su notación para el signo de igualdad (relación difícil y problemática donde las haya{12}). A Francisco Vieta, cuyos trabajos sobre parámetros e incógnitas allanan el camino al propio Descartes. También se debe citar a Juan Napier, a Tycho Brahe o al holandés Simón Stevin, en el desarrollo de funciones circulares, las tablas de logaritmos y el desarrollo de la trigonometría (prostafairesis). No podemos olvidarnos de los trabajos de Copérnico o Galileo en Astronomía. Por otra parte, contribuyen a esta gran síntesis del Cálculo un conocimiento y resolución de problemas de tipo cinemático y dinámico, así como de problemas relativos a la Óptica o a otros campos de la ingeniería mecánica.

De lo anterior se pueden sacar multitud de ejercicios y problemas para la enseñanza secundaria que, aunque no sean propiamente del Cálculo, se debe subrayar que este no se entiende sin aquellos procesos.

4. 4. Culminación de la formalización del Cálculo. Siglos XIX y XX

Dejando de lado disputas sobre la prioridad, la verdad es que sería difícil dirimir quién de los dos (Newton o Leibniz) es el que más ha aportado, pues eso es seguramente imponderable, dadas las casi infinitas aplicaciones y difusiones que tuvieron ambos. Tal vez sea cierto, sin embargo, que el tratamiento de Leibniz se presta, por su enfoque y notación, a un mayor desarrollo de la aritmetización consolidada en el XIX, siendo un indicio de ello la pervivencia de su notación que, como ya hemos dicho, significa también, casi con certeza, una confusión de Ideas para quien la usa.

Dedicamos la última parte a los protagonistas que culminaron la senda de la formalización del Cálculo mediante la aritmetización del Análisis. Euler cuenta entre sus trabajos con un gran tratamiento de funciones y series. En cuanto al desarrollo del concepto de función debemos mencionar su Introductio in análisis infinitorum, de 1748, donde queda fijado el concepto de función como una relación entre una variable dependiente y otra independiente.

Tal vez sea interesante citar, aunque no sea interno al campo de las Matemáticas, al obispo anglicano G. Berkeley, que en 1734 condena teológicamente el estudio y uso de los infinitésimos (él habla de “fluxiones” por razones obvias), llamándolos “fantasmas”, y tal vez aquí podamos comprender por qué el desarrollo del Cálculo después de Newton se desplaza sobre todo al continente.

Un personaje del que no podemos dejar de hablar es de J. L. Lagrange, pues seguramente fue uno de los matemáticos que más empeño puso en eliminar de las Matemáticas el uso de los infinitésimos, y es desde entonces cuando se empiezan a dar los primeros pasos encaminados a vincular todo el Análisis al concepto de límite. Merece destacarse su obra de 1797 Teoría de funciones analíticas donde se habla por primera vez de “derivada”.

Pero no será hasta 1821 en el Curso de Análisis de la Escuela Politécnica que los límites entren con fuerza a formar parte del quehacer matemático de la mano de Agustín Cauchy. Muchas de las ideas sobre límites son las que usamos hoy, si bien perfeccionadas. La obra contiene varios errores en los cálculos, pero aún así tiene un gran valor en la Historia de la Ideas del Cálculo.

B. Bolzano trabajó en los inicios del siglo XIX en gran cantidad de áreas en la formalización del Análisis, y tal vez no sea recordado como se merece su esmero en la labor de aritmetización del Análisis. Hoy queda un teorema que lleva su nombre y que es enseñado en la Educación Secundaria. Este teorema tiene detrás todo el trabajo de Bolzano en lo relativo a la formalización del concepto de función continua.

Pero es a Weierstrass y su escuela a quien más se debe probablemente en esta tarea de formalización. Introduce el límite (1872) mediante la famosa definición épsilon-delta, que no se enseña en Secundaria, pero sí en las facultades de Matemáticas, y pasa por ser la definición más rigurosa del Análisis, a partir de la cual se construye el resto de esta Ciencia.

Terminamos nuestro recorrido citando a Dedekind y Cantor, que culminan este proceso bimilenario. Las cortaduras de Dedekind (1858) definen constructivamente los números reales a partir de los racionales. Cantor formaliza las Matemáticas modernas (a partir de 1871) con su Teoría de Conjuntos y construye incluso una Aritmética Transfinita (que supone tratar a los infinitos como existentes y presentes en acto, algo inaudito desde Aristóteles por la distinción ya señalada entre infinito en acto y en potencia). La función queda definida por Cantor como una relación unívoca a la derecha entre dos conjuntos.

Como tarea o actividad en enseñanza secundaria (sobre todo bachillerato), en grupos, se puede hacer un recorrido histórico desde Euler y Cauchy hasta llegar a Dedekind y las cortaduras, pasando por Bolzano y Weierstrass, estudiando las definiciones de cada uno, para terminar de comprender la notación y conceptos que manejan los estudiantes diariamente. De todos modos, la mayoría de ejercicios y problemas que se ponen en los libros de texto al uso predomina el enfoque formalista del que se viene hablando en el presente trabajo.

5. Propuestas curriculares alternativas

Como se ha ido sugiriendo en el desarrollo histórico genético anterior, se puede recorrer la Historia del Cálculo proponiendo actividades concretas al hilo de cada paso que se va dando hasta llegar a la construcción final y definitiva del Análisis Matemático. Por eso, las indicaciones que se han ido apuntando, con otras posibles que se pueden añadir, supone la primera propuesta didáctica alternativa que este trabajo ofrece.

Este método tiene la ventaja de que permite ir conociendo las morfologías de partes de las Matemáticas conforme ellas iban apareciendo. Si aplicamos lo que hemos dicho sobre el cuerpo de las ciencias y las nueve figuras gnoseológicas, veremos que esta perspectiva tiene la virtud de poder ir viendo el desarrollo de las normas científicas; que se trabaja con referenciales, términos, y aparatos distintos de los que estamos acostumbrados (figuras, máquinas, poleas, etc.), de modo que el alumno puede conocer otras perspectivas de las habituales, y aprender, asimismo, cuáles han sido los desarrollos que han ido ligando las distintas partes de las Matemáticas, también con otras ciencias (v. gr. Cinemática u Óptica).

Pero este enfoque tiene tal vez la desventaja de ser un recorrido largo y laborioso. Eso, sin embargo, no debe implicar que se abandone totalmente esta senda, pues bien puede suceder que se intercalen, cuando el profesor lo estime oportuno, actividades de tipo genético, histórico y constructivo, en el marco de las explicaciones de los currículos vigentes. Así pues, no hace falta ser completamente revolucionario para poder aplicar algo de este enfoque.

6. Conclusiones

Podemos decir como conclusión de estos dos primeros trabajos que, como se ha intentado demostrar, en didáctica de las Matemáticas se hace necesaria una pregunta sobre la esencia de las Matemáticas, en qué consisten o cuáles son sus maneras de proceder, pues evitar estas cuestiones lleva a caminos errados; dar respuestas pedagógicas al margen de las morfologías y peculiaridades internas de las Matemáticas lleva a reducciones abstractas estudiadas como las del cognoscitivismo y el constructivismo subjetivista. Hay que hacer didáctica de las Matemáticas contando con ellas, no al margen o independientemente de las mismas, lo que no quiere decir que no sean muy valiosas aportaciones de la Psicología, la Sociología u otras disciplinas. Lo que se ha intentado demostrar es que la didáctica de las Matemáticas, por muchos componentes externos de los que se sirva, no enfocará bien su objetivo si no se tiene claro cuáles son las morfologías propias de los distintos campos de las Matemáticas.

Se han revisado críticamente, además, distintas visiones sobre los fundamentos de las Matemáticas, para después argumentar sobre bases sólidas otra conclusión a la que se llega, que consiste en afirmar que las Matemáticas tienen un componente sintáctico (términos, operaciones, relaciones), un componente semántico (fenómenos, referenciales fisicalistas, estructuras) y un componente pragmático (normas, autologismos, dialogismos); y que por eso un enfoque didáctico que encaja bien con la estructura de las Matemáticas es el que proporciona la EMR (Enseñanza Matemática Realista), el constructivismo objetual y la Historia de las Matemáticas.

Como aplicación en las aulas, podemos destacar que se ha cuestionado si el actual orden de enseñanza de las materias relativas al Análisis Matemático es el más adecuado, o el único posible, justificando la posibilidad de invertir los órdenes.

7. Referencias y Bibliografía

Algunas referencias se han ido incluyendo en notas a pie de página, que tienen un carácter lateral con respecto al centro de la investigación. Se incluyen aquí las referencias bibliográficas principales que han vertebrado en los dos trabajos:

–Apostol, T. M (1996). Análisis Matemático. Barcelona: Reverté. Segunda edición.

–Aristóteles, Física. En español la edición de Gredos es probablemente la mejor. Se ha citado por la edición de Bekker.

–Dou, Alberto (1990). Las matemáticas en la España de los Austrias (comunicación al segundo Simposio sobre Julio Rey Pastor, Logroño 1988), en Luis Español (ed.), Estudios sobre Julio Rey Pastor, 151–172. Instituto de Estudios Riojanos, Logroño, 1990.

–Boyer, Carl Benjamin (1949). The History of the Calculus and its Conceptual Develpment. Nueva York: Dover.

–Boyer, Carl Benjamin (1993). Tópicos de História da matemática. Sao Paulo: Atual.

–Boyer, Carl Benjamin (2003). Historia de la matemática. Madrid: Alianza Editorial.

–Bueno, Gustavo (1972). Ensayos Materialistas. Madrid: Taurus.

–Bueno, Gustavo (1974). La Metafísica Presocrática. Oviedo: Pentalfa. Disponible en línea: http://www.fgbueno.es/gbm/gb74mp.htm

–Bueno, Gustavo (1979). Operaciones autoformantes y heteroformantes. Ensayo de un criterio de demarcación gnoseológica entre la Lógica formal y la Matemática. Oviedo: Revista el Basilisco, núms. 7 y 8. En Línea: http://fgbueno.es/bas/bas10702.htm

–Bueno, Gustavo (1990). Materia. Oviedo: Pentalfa.

–Bueno, Gustavo (1992-93), Teoría del Cierre Categorial. Oviedo: Pentalfa. Obra editada en 5 volúmenes.

–Bueno, Gustavo (1995). ¿Qué es la ciencia? Oviedo: Pentalfa. En línea: http://www.filosofia.org/aut/gbm/1995qc.htm

–Puig, Luis (2001) traducción de Didactical Phenomenology of Mathematical Structures (Hans Freudenthal). Publicada en Fenomenología didáctica de las estructuras matemáticas. Textos seleccionados. México: CINVESTAV.

–García Cruz, Juan Antonio. La didáctica de las Matemáticas: una visión general. En línea: http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/rtee/didmat.htm.

–Grabiner, Judith V. (1983). The Changing Concept of Change: The Derivative from Fermat to Weierstrass. Mathematics Magazine, 56 :195 – 206,

–Guzmán, Miguel (1993). La enseñanza de la matemática. Texto digital en línea: http://www.oei.es/edumat.htm

–Madrid Casado, Carlos (2009a). Cómo hacer ciencia con aparatos. Un enfoque materialista de la física cuántica. UNED, Empiria. Disponible en línea: http://revistas.uned.es/index.php/empiria/article/view/2003

–Madrid Casado, Carlos (2009b). El cierre de la Topología y la Teoría del Caos. Oviedo: Revista El Basilisco, segunda época, núm. 41.

–Pérez, Javier (2012). Cálculo diferencial e integral de funciones de una variable. (Profesor de la Universidad de Granada, cuyo libro puede consultarse en línea): http://www.ugr.es/~fjperez/apuntes.html

–Spivak, M. (1988). Calculus. Barcelona: Reverté.

–Velarde, Julián (1992). Teoría del “Cierre Categorial” aplicado a las Matemáticas. Revista Meta, Congreso sobre la filosofía de Gustavo Bueno (enero de 1982). Editorial Complutense 1992. En línea: http://www.fgbueno.es/med/dig/meta89e.pdf

Notas

{1} Libro de SM, Matemáticas Ciencias de la Naturaleza y de la Salud / Tecnología, del año 2003.


{2} (Boyer, 1993, p. 2)

{3} Como diría Borges en La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga: “Zenón es incontestable, salvo que confesemos la idealidad del espacio y del tiempo. Aceptemos el idealismo, aceptemos el crecimiento concreto de lo percibido, y eludiremos la pululación de abismos de la paradoja. ¿Tocar a nuestro concepto del universo, por ese pedacito de tiniebla griega?, interrogará mi lector”.
Lo que demuestran en todo caso las paradojas de Zenón es que pretender agotar la realidad de la materia, intentando conocer sus últimos elementos, es una tarea vana. El materialismo filosófico de Bueno argumenta que aquí desbordamos el terrero operatorio que da la escala humana, pues tiene como límites últimos la capacidad operatoria del cuerpo humano. Pretender conocer los elementos últimos de la naturaleza es tan vano como pretender conocer el Todo. También cabe citar aquí, en esta línea, el libro I de la Ética de Espinosa, sobre todo el escolio a la proposición XV.

{4} Esta distinción viene de Aristóteles, Física III, ver sobre todo 207b ss.

{5} (Boyer, 2003, p.128). Para Boyer esta idea incluso es la que inspira las cortaduras de Dedekind, o al menos no diferiría de ella en lo esencial.

{6} Sería muy interesante en este punto llevar a cabo una investigación que relacione estas concepciones de los infinitos infinitésimos con el atomismo clásico de Demócrito.

{7} La fecha en la que Descartes la descubre es aproximadamente 1628.

{8} Poner fechas a los trabajos de Fermat no es sencillo, pero estarían en torno a los años 1630.

{9} Destacamos un trabajo de Carlos Madrid Casado al respecto: “Cómo hacer ciencia con aparatos. Un enfoque materialista de la física cuántica” donde demuestra que Ciencia Física y aparatos han ido siempre de la mano, y que, en general, los aparatos son inseparables de las ciencias, también de las Matemáticas. Disponible en línea:

http://revistas.uned.es/index.php/empiria/article/view/2003

{10} Pensadores ilustres como Huygens o el mismo Espinosa eran pulidores de lentes.

{11} Boyer, 2003, pp. 440 ss.

{12} Véase a tal efecto el importante trabajo de Gustavo Bueno titulado Unidad e Identidad, en la revista digital El Catoblepas: http://www.nodulo.org/ec/2012/n121p02.htm

 

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