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El Catoblepas, número 161, julio 2015
  El Catoblepasnúmero 161 • julio 2015 • página 1
Artículos

Didáctica de las Matemáticas
desde un enfoque materialista:
Investigaciones para una didáctica
constructivista e histórica.

Sergio Vicente Burguillo

Este trabajo trata de iniciar una serie de investigaciones acerca de una didáctica constructivista e histórica de las Matemáticas desde la perspectiva materialista de la Teoría del cierre categorial.

Lord Kelvin impartiendo materia

Nada puedo entender si no lo puedo dibujar.
Lord Kelvin (1824-1907)

Primero la derivada fue usada, después fue descubierta,
explorada y desarrollada y, finalmente, definida.
(Judith V. Grabiner, 1983)

0. Introducción

Este trabajo trata de iniciar una serie de investigaciones acerca de una didáctica constructivista e histórica de las Matemáticas.

Para justificar adecuadamente esta iniciativa, es preciso tomar como referencia una Filosofía de las Matemáticas, así como una Didáctica de las mismas, que tenga en cuenta las alternativas existentes, necesariamente polémicas e incompatibles en algunos puntos. Podría resultar superficial pretender ofrecer propuestas didácticas sin decir nada de las alternativas disponibles y si son o no compatibles con las morfologías de las Matemáticas.

La Filosofía de la Ciencia que se tomará como referencia, tras el análisis de otras posibilidades, es la Teoría del Cierre Categorial (en adelante TCC) y, como referencia de las propuestas didácticas, el constructivismo objetual de la Enseñanza Matemática Realista (en adelante EMR) cuyas fuentes beben sobre todo de Hans Freudenthal, y que en España se ha canalizado a través del valenciano Grupo Cero, entre otros. Se intentará, asimismo, probar la fuerte conexión y complementariedad que existe entre ambas perspectivas.

En una segunda parte, como propuesta inicial desprendida de este primer trabajo, se plantearán cuestiones relativas a la Didáctica del Cálculo y de las derivadas, y se ofrecerán algunas propuestas al respecto. Se ha elegido como un hilo conductor el tema del Cálculo Infinitesimal y de las derivadas por tener una relevancia singular en los currículos de la enseñanza secundaria, además de por ser el Análisis infinitesimal uno de los centros más relevantes de la matemática moderna{1}, donde convergen grandes parcelas o cursos de las Matemáticas y las ciencias naturales: cinemática, dinámica, geometría analítica, aritmética, etc.

1. Punto de partida

«El Mundo es el resultado de la "organización" que algunas de sus partes (por ejemplo, los hombres) establecen sobre todo aquello que incide sobre ellas, y está en función, por lo tanto, del radio de acción que tales partes alcanzan en cada momento.»{2}

«Para Freudenthal, los objetos matemáticos se construyen en la práctica matemática como medios de organización de objetos del mundo, sus propiedades, las acciones que hacemos sobre ellos o las propiedades de estas acciones.»{3}

Las dos citas anteriores resumen la perspectiva general de este trabajo, y a su vez pertenecen a los dos autores que más influyen en el mismo. Como se va a intentar demostrar, ambas perspectivas no solo son compatibles, sino complementarias. Por eso no parece del todo impertinente decir algo sobre el punto de partida ontológico o filosófico de ambos (consideramos a Freudenthal también filósofo, porque no hace solo Matemáticas, sino Filosofía de las Matemáticas).

El Mundo del que parten sendos autores no es un Mundo eterno, inmutable, del que el hombre sería mero espectador pasivo, como podría suceder en la cosmovisión aristotélica. Sino que, al contrario, el Mundo es todo aquello que está en función del radio de acción que alguna de sus partes alcanza en un momento dado (Bueno), o es el conjunto de objetos que los hombres organizan (Freudenthal). Hay una diferencia, sin embargo, que se debe señalar. Para Bueno, el Mundo de los hombres es construido por ellos mismos, no absolutamente, por supuesto, sino con una Materia dada, pero adquiere morfología humana a través de las técnicas, tecnologías y ciencias (que no es otra cosa que un momento avanzado de las técnicas); mientras que para Freudenthal la organización de los objetos del Mundo la hace, sobre todo, la Ciencia Matemática, lo que supone un reduccionismo desde el punto de vista del primero.

En conclusión, el Mundo va cambiando por la acción transformadora de los hombres (incluso puede ser destruido con bombas potentes), no caprichosamente, sino con base en leyes objetivas que sobrepasan la voluntad de los agentes. Las Matemáticas son un componente esencial, un motor de dicha transformación. Por eso las Matemáticas no son algo especulativo o ajeno a la práctica humana, sino que ellas mismas se levantan sobre la capacidad operatoria de los matemáticos que, con su actividad, transforman y construyen a su vez el Mundo en el que habitan. Este es el sentido constructivista de fondo de este trabajo.

2.1. Revisión de algunas Teorías pedagógicas sobre las Matemáticas

La distinción que gobierna la Teoría del conocimiento o Epistemología es la de objeto / sujeto (Bueno, 1995){4}. Si se tiene en cuenta esta distinción dentro de la «ciencia»{5} pedagógica, se pueden clasificar dos de las grandes corrientes que la atraviesan.

Por una parte, se tendrían las teorías pedagógicas que ponen el peso de la educación en el objeto de conocimiento (y que en Pedagogía se llama «cognoscitivismo»). En el caso de las Matemáticas se puede citar la llamada «matemática moderna» cuyo mayor representante tal vez sea el grupo Bourbaki con su famoso «abajo Euclides» de Jean Diudonné (de 1959). Según esta corriente epistemológica, la enseñanza de las Matemáticas debería centrarse en las definiciones, teoremas y demás lenguajes formalizados, expulsando en la medida de lo posible los diagramas, dibujos o construcciones particulares (de los que estaría llena, según ellos, la geometría de la tradición euclidiana). Detrás de esta propuesta pedagógica se esconde un formalismo objetivista, alejado completamente de la manera de hacer matemáticas que la Historia de las Matemáticas enseña. Para (Guzmán, 1993){6}, este movimiento se caracteriza por subrayar las estructuras abstractas, el rigor lógico y el énfasis en la fundamentación en detrimento de la geometría elemental y la intuición espacial, llevando a un «vaciamiento de problemas interesantes».

Siguiendo con la distinción epistemológica, considerando ahora el segundo término, el sujeto, se encuentran corrientes centradas en los agentes del conocimiento, ya se tome este individual o grupalmente, cuyas metodologías y perspectivas diferirán de la matemática moderna, pues tomando como referencia los polos objeto / sujeto que induce la distinción epistemológica, parece obligado oponer al formalismo objetivista{7} otra teoría pedagógica no centrada ya en el objeto, sino en el sujeto. Una de las teorías que más predicamento tienen es la llamada epistemología constructivista{8}. Entre sus referencias o antecedentes se encuentra la epistemología genética de J. Piaget (tomando al sujeto individualmente, y cuyo ámbito sería el de la psicología, en general) o el constructivismo social de Vigotsky{9} (sujeto tomado socialmente; converge con corrientes de sociología de la ciencia, por ejemplo). Se centra más en los procesos de adquisición o producción de conocimientos, que en las materias o contenidos conocidos. En esta corriente se suelen tomar como precedentes las famosas escuelas progresistas, cuyos máximos representantes tal vez sean Rousseau en la época de la Ilustración, o en el siglo XX el estadounidense pragmatista Dewey.

Tanto en la dirección formalista (matemática moderna) como en el constructivismo subjetivista se cometen reducciones abstractas que impiden plantear adecuadamente la enseñanza de las matemáticas, pues quedan anegadas las morfologías particulares de las distintas ramas de las mismas. De ahí la inestabilidad que ha acompañado a ambas corrientes. Se puede decir que los caminos transitados por la matemática moderna han sido prácticamente ya abandonados por sus fracasos (verum est factum), y que no fueron otra cosa que proyectos pedagógicas desprendidos del formalismo hilbertiano de principios de siglo XX.

Por su parte, el constructivismo subjetivista goza de gran predicamento. Inger Enkvist{10} ha señalado los problemas de este tipo de enseñanzas{11}: «Todo esto se ha puesto en marcha con la idea de que el alumno pueda integrar mejor las ideas que él mismo encuentra. Lo que ha sucedido en realidad es que casi siempre, en los colegios e institutos, el alumno se dedica a tareas bastante mecánicas porque son las únicas que puede realizar sin la ayuda del profesor y todo esto va en detrimento del desarrollo del pensamiento{12}. (…) Esto ha llevado a lo que algunos llaman el infantilismo en la educación. En vez de preparar al niño y al joven para la vida adulta, se le invita a estar siempre jugando y satisfecho de sí mismo. Otra tendencia posmoderna muy negativa para el desarrollo intelectual del joven es la aceptación de la fragmentación, que va unida a la autonomía del alumno y a la tecnología. Si al alumno no se le pide que estructure, que desarrolle una idea, que repase y que memorice, todo queda en el instante. El rendimiento escolar es dar cuenta de lo que ha hecho un alumno previamente.» Señala Enkvist que entre las ideas que han llevado a tantas reformas educativas estaría lo que sus impulsores han considerado una falta de democratización, justificando sus propuestas positivas al elevar al rango de ciencia a la Pedagogía{13}.

Ha merecido la pena extenderse algo más en la corriente constructivista, que llamaremos mejor «constructivismo subjetivista», porque como decimos es la que más peso tiene en las nuevas pedagogías posmodernas (como las llama Inger Enkvist), y porque la confrontaremos con un constructivismo objetivo, o mejor, «objetual», porque no solo se opone al subjetivismo, sino que supone además que las Matemáticas solo pueden hacerse con los objetos (cuerpos) mismos; algo que tiene que ver con la TCC, la EMR y el enfoque histórico constructivista del presente trabajo.

2.2. Revisión de distintas maneras de entender las Matemáticas

El mundo de los hombres, del que hemos hablado en el punto de partida, está constituido por todo aquello que el hombre puede de alguna manera transformar y organizar, siendo las manos el principal agente operador y el cuerpo humano la unidad de medida. Teniendo esto presente, se pueden clasificar las cosas del mundo en tres grandes grupos: las cosas espaciales y temporales (cuerpos, bultos, ondas, fuerzas electromagnéticas), que llamaremos, siguiendo a Bueno{14}, M1. Un segundo tipo de realidades, temporales, pero no espaciales (dolor de muelas, realidades psicológicas en general), que llamaremos M2; y un tercer tipo de realidades que no son propiamente espaciales ni temporales (relaciones entre cuerpos, verdades, etc.), que llamaremos M3.

Pues bien, resulta que son tres las grandes rúbricas en las que se suelen clasificar{15} las concepciones o visiones sobre las Matemáticas, a saber: formalismo, intuicionismo y platonismo (o pitagorismo, otras veces logicismo), algo que tiene que ver precisamente con la reducción de lo sustancial de las Matemáticas a M1, M2 y M3, respectivamente.

En efecto, dentro de la categoría formalista, encontramos a Hilbert, Bernays, Zermelo, von Neumann o Curry{16}, de los que podemos decir que tienen en común la negación de las matemáticas como algo que posea existencia real o subsistente, identificando las matemáticas con las marcas físicas en el papel.

En el grupo de los intuicionistas, se pueden englobar a los matemáticos con toques kantianos; a Kronecker, Poincaré, Brouwer, H. Weyl o Heyting. Para estos matemáticos (en este punto filósofos de las Matemáticas, precisando, pues su visión de lo que hacen no es hacer propiamente matemáticas), la esencia de las Matemáticas se diluye en realidades psíquicas o mentales.

Por último, tenemos al gran grupo de los matemáticos tradicionalmente llamados platónicos o pitagóricos, donde podemos situar también a Cantor, Gödel, Penrose, o al logicismo de Frege, B. Russell, Whitehead o el primer Wittgenstein. Las Ideas, para Platón, habitan en un Cielo eterno e inmutable, y el Mundo de los hombres es mera copia o débil reflejo del mismo. Este sabor platónico es la característica más frecuente de este grupo de teorías. En cualquier caso, todas las posiciones aquí englobadas, con ser distintas, tienen en común la concepción de las entidades matemáticas como algo ajeno al espacio y al tiempo, es decir, tanto a las realidades físicas como psíquicas, en el supuesto de que las entidades matemáticas o lógicas preexisten a la labor operatoria de los matemáticos y científicos («El mundo está escrito en caracteres matemáticos» de Galileo).

Aquí se defenderá que las Matemáticas no se reducen a ninguno de los tres tipos de realidades descritas, sino que hay una conjugación de todas ellas, y que el olvido de una de las tres impide entender con claridad su esencia o estructura, con las consecuentes implicaciones didácticas y pedagógicas.

2.3. Respuesta: Lo que las Matemáticas son y las consiguientes propuestas didácticas

Se han visto en el punto 2.1 dos grandes teorías pedagógicas de las Matemáticas, la congnoscitivista, y la constructivista subjetivista, y en el punto 2.2 el formalismo, intuicionismo y platonismo, las tres grandes visiones que sobre las Matemáticas hay disponibles.

Pues bien, una vez criticadas y clasificadas esas posturas, lo que se hará es dar una respuesta a qué puedan ser realmente las Matemáticas (al menos decir cuáles son sus morfologías y partes formales) y, dependiendo de esta respuesta, qué tipo de enseñanza se adaptaría mejor a las mismas, para poder llegar en condiciones a proponer algún posible cambio en los currículos de enseñanza secundaria o en las programaciones que los profesores de Matemáticas elaboren para organizar sus cursos.

2.3.1. Crítica a la distinción epistemológica. Constructivismo objetual

¿Cómo salir del dualismo epistemológico cognoscitivismo / constructivismo subjetivista?

Primero, abandonando la distinción epistemológica objeto / sujeto, por insuficiente y abstracta. Ya que dentro de esta distinción, parecería que la forma (la didáctica, la enseñanza) es anterior a la materia a la que se quiere aplicar. Parecería que sin saber exactamente qué son las Matemáticas (en particular, pues es el caso que nos interesa), es decir, sin especificar cuál es la contextura de las materialidades que envuelve, sus morfologías, sus relaciones y peculiaridades, pudiéramos de antemano decidir qué forma ha de tener la enseñanza de las mismas.

En su lugar, para intentar resolver esta cuestión, se puede añadir un tercer término, σ, a S (Sujeto) y O (Objeto), y que no hay que entender como términos opuestos o disjuntos, sino conjugados mutuamente{17}. Se introduce la letra griega σ, queriendo con ella recoger todo lo que de lingüístico tengan las Matemáticas. En efecto, el lenguaje es el hilo conductor de toda ciencia, en dos sentidos al menos. En un sentido, el más evidente, porque solo con lenguaje puede haber comunicación entre científicos o técnicos; y en un segundo sentido porque sin lenguaje no puede haber desarrollo interno de las propias ciencias. Esto no quiere decir que las ciencias se reduzcan a lenguaje, ni mucho menos, porque hay multitud de procesos constructivos que desbordan el ámbito del lenguaje, como puedan ser los experimentos de laboratorio en Química o, en Geometría elemental, la manipulación de objetos físicos, como la regla y el compás, pero también los sólidos regulares, cuerdas o geoplanos, aparte otros recursos TICs que ofrecen las tecnologías informáticas.

Por eso aquí se sostiene que hay sujetos que construyen las ciencias (S); objetos o cosas del Mundo (O); y signos lingüísticos (σ), de tal modo que hay un entretejimiento y dependencia mutuas entre los tres términos. Se ofrece en el primer cuadro una posible organización, por pares, de los términos, que se traduce en nueve figuras, y que constituyen lo que Bueno llama Espacio Gnoseológico, o Cuerpo de las Ciencias. El cuerpo de las Matemáticas, como el de toda ciencia{18}, consta de tres ejes. Es discutible, sin embargo, que exista una tal ciencia llamada «Matemáticas»{19}; más bien existen múltiples ciencias bajo este rótulo: Aritmética, Geometría, Topología, Análisis, etc.

Tabla 1: Figuras del espacio gnoseológico (Madrid, 2009b)

Figuras
gnoseológicas

Objetos
(O)

Sujetos
(S)

Signos
(σ)

Eje sintáctico
(signos, σ)

Términos
(σ, O)

Operaciones
(σ, S)

Relaciones
(σ, σ)

Eje semántico
(objetos, O)

Referenciales
(O, O)

Fenómenos
(O, S)

Esencias
(O, σ)

Eje pragmático
(sujetos, S)

Dialogismos
(S, O)

Autologismos
(S, S)

Normas
(S, σ)

Si tomamos como referencia la Geometría de Euclides, distinguimos un eje sintáctico, formado por términos, relaciones y operaciones. Los términos serían las circunferencias, rectas o segmentos. Las operaciones, las manuales (más que «mentales»), entre ellas, las que tienen que ver con la regla y el compás (hoy nos podemos servir de multitud de recursos técnicos y tecnológicos, TICs); y las relaciones, pueden ser las construcciones segregadas por las operaciones con esos términos (distancias, cortes de dos rectas). Un eje semántico, que consta de fenómenos (dibujos, esquemas), referenciales (redondeles, figuras) y estructuras (teoremas). Y el último eje, el pragmático, en el que se encuentran los autologismos (algoritmos recordados, fórmulas), dialogismos (congresos, libros) y normas (aº = 1, 0! = 1, u otras normas internas).

Tabla 2. Ejemplos de figuras gnoseológicas en el campo de las Matemáticas. Elaboración propia, basada en (Madrid, 2009b)

Eje sintáctico

Términos

Números, rectas, curvas, conjuntos, figuras planas, cuerpos espaciales…

Operaciones

Funciones aritméticas, aplicaciones entre conjuntos, uso de regla y compás, manipulación de programas TICs, sumar, restar, multiplicar, dividir, derivar, integrar…

Relaciones

Identidades notables, ecuaciones algebraicas, distancias, relaciones geométricas…

Eje semántico

Referenciales

Signos tipográficos, rayas, líneas, sólidos, ordenador, pizarra, cartulinas, goniómetro, compás…

Fenómenos

Dibujos, diagramas, ejemplos, contraejemplos, conjeturas, hipótesis…

Esencias (Estructuras)

Definiciones, teoremas, clasificaciones

Eje pragmático

Normas

Leyes de la lógica, reglas matemáticas, aº=1, 0!=1, prohibición de dividir por cero, indeterminaciones…

Autologismos

Ocurrencias, ideas felices, recuerdo de problemas resueltos o análogos….

Dialogismos

Congresos, conferencias, libros, debates, trabajos en grupo…

Como se puede observar, los términos que hemos llamado M1, M2 y M3 quedan entretejidos en el cuerpo de la ciencia, en cada uno de los tres ejes. El eje semántico, por ejemplo, se compone de referenciales, que son entidades M1, fenómenos, M2 (pues tienen una carga subjetiva o psicológica importante), y las estructuras o esencias, M3, donde se anudan los demás componentes de las ciencias.

Solo mencionar, para terminar este punto, que podemos reorganizar el cuerpo de las ciencias en torno a unas partes materiales y unas partes formales, que envuelven un contexto determinante donde se produce la verdad científica. Veamos esto con un ejemplo. La verdad del teorema de Pitágoras se produce en el contexto determinante formado por el triángulo y los cuadrados que se dibujan sobre los lados. Están involucrados términos, relaciones y operaciones, así como el resto de figuras gnoseológicas, que serían las partes materiales del teorema que se pretende demostrar. Ahora bien, esas operaciones involucradas en ese contexto determinante segregan una identidad (identidad sintética, por tanto), a saber, que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Esta sería la forma que se desprende del teorema, que neutraliza las operaciones del sujeto o sujetos que han llegado a ella. Pero no es una forma absoluta, sino que será materia de nuevos teoremas que usarán este resultado en otro contexto determinante. Y así, sucesivamente, se va construyendo la ciencia geométrica de Euclides.

2. 3. 2. EMR como base de las propuestas didácticas

Una de las premisas básicas de este trabajo es que toda didáctica de las Matemáticas deberá tener en cuenta la constitución morfológica de las distintas ramas de las mismas. Por eso se propone la EMR{20} en lo que se puede llamar «constructivismo objetual» (mejor que «objetivo», por las razones ya dichas en 2.1).

La EMR constituye un ejemplo de aprendizaje basado en problemas{21}. En este punto, se puede tomar como referencia el famoso texto de Ana Bressan{22}. Allí se expone el principio de los niveles (matematización progresiva). Habría un nivel horizontal y otro vertical. El primero se movería en un plano sobre todo fenoménico contextual de generalización progresiva, y el segundo en un plano de abstracción o formalización matemática.

Dentro del nivel horizontal habría a su vez tres niveles, clasificados también por los niveles de abstracción. El primer nivel es el «situacional», donde se plantean las variables fenoménicas. Se apoya en la lengua en que se expresa, en las experiencias y el sentido común (integrado en el sistema de normas morales, grupales). El segundo nivel es el «referencial», donde aparecen ya niveles gráficos, materiales, diagramas, descripciones, pero siempre referidos a una situación particular. Como se ve, aquí hay ya un mayor grado de abstracción. Si bien en el primer caso se trataba de entender una situación, con posibles problemas o conflictos derivados también de la vida cotidiana, en este plano se trata de concretar la información planteada en unos esquemas, dibujos o diagramas que abstraigan por el momento los componentes particulares y contextuales ajenos en principio a la resolución del problema. El siguiente nivel es el «general», donde se deben explorar las posibles estrategias a seguir para resolver el problema; el contexto queda superado definitivamente.

En el nivel vertical o formal se trabaja la resolución del problema con las notaciones simbólicas convencionales. Estaríamos en la situación más abstracta, pero necesaria, para la resolución del problema.

No se debe olvidar que una vez que se ha resuelto el problema, hay que «bajar a la caverna» (recordando la alegoría de Platón) y reintroducir la capa fenoménica y contextual segregada anteriormente. Responder a preguntas como ¿Qué sentido tienen las soluciones?, ¿Se pueden aplicar todas? ¿Hay soluciones sin sentido?

Si nos apoyamos en los de los tres ejes del espacio gnoseológico, podemos decir que los problemas se han de plantear, para la EMR, con una gran riqueza fenoménica y contextual, es decir, relativa al eje semántico. El nivel horizontal se desplaza sobre todo alrededor de este eje. Se deben manejar situaciones en las que aparezcan fenómenos de todo tipo, se manipulen referenciales fisicalistas (es decir, cuerpos), se opere con diagramas, se hagan dibujos o representaciones de índole muy variada. En el tratamiento de este campo o eje semántico no se dejan de lado los otros dos, sino que están muy presentes. En el trabajo de manipulación, dibujo, representación, es conveniente poner peso en el eje pragmático, a través de los dialogismos con otros compañeros (discusión de propuestas, estrategias de resolución, visualización de los problemas desde distintos puntos de vista), teniendo siempre en cuenta las normas (regla de los signos, operaciones de matrices, algoritmos). Para trabajar el eje pragmático, el aprendizaje cooperativo es una de las metodologías más eficientes, que se complementa con la EMR, puesto que la interacción entre compañeros permite diversidad de visualización, comprensión, y análisis de situaciones problemáticas suficientemente enriquecidas. Y no olvidamos el eje sintáctico, que tendrá más importancia quizá en el nivel vertical, donde deben quedar los problemas planteados y resueltos en un lenguaje matemático y simbólico correcto.

Referencias bibliográficas

Algunas referencias se han ido incluyendo en notas a pie de página, que tienen un carácter lateral con respecto al centro de la investigación. Se incluyen aquí las referencias bibliográficas principales que han vertebrado el trabajo:

–Apostol, T. M (1996). Análisis Matemático. Barcelona: Reverté. Segunda edición.

–Aristóteles, Física. En español la edición de Gredos es probablemente la mejor. Se ha citado por la edición de Bekker.

–Dou, Alberto (1990). Las matemáticas en la España de los Austrias (comunicación al segundo Simposio sobre Julio Rey Pastor, Logroño 1988), en Luis Español (ed.), Estudios sobre Julio Rey Pastor, 151–172. Instituto de Estudios Riojanos, Logroño, 1990.

–Boyer, Carl Benjamin (1949). The History of the Calculus and its Conceptual Develpment. Nueva York: Dover.

–Boyer, Carl Benjamin (1993). Tópicos de História da matemática. Sao Paulo: Atual.

–Boyer, Carl Benjamin (2003). Historia de la matemática. Madrid: Alianza Editorial.

–Bueno, Gustavo (1972). Ensayos Materialistas. Madrid: Taurus.

–Bueno, Gustavo (1974). La Metafísica Presocrática. Oviedo: Pentalfa. Disponible en línea: http://www.fgbueno.es/gbm/gb74mp.htm

–Bueno, Gustavo (1979). Operaciones autoformantes y heteroformantes. Ensayo de un criterio de demarcación gnoseológica entre la Lógica formal y la Matemática. Oviedo: Revista el Basilisco, núms. 7 y 8. En Línea: http://fgbueno.es/bas/bas10702.htm

–Bueno, Gustavo (1990). Materia. Oviedo: Pentalfa.

–Bueno, Gustavo (1992-93), Teoría del Cierre Categorial. Oviedo: Pentalfa. Obra editada en 5 volúmenes.

–Bueno, Gustavo (1995). ¿Qué es la ciencia? Oviedo: Pentalfa. En línea: http://www.filosofia.org/aut/gbm/1995qc.htm

–Puig, Luis (2001) traducción de Didactical Phenomenology of Mathematical Structures (Hans Freudenthal). Publicada en Fenomenología didáctica de las estructuras matemáticas. Textos seleccionados. México: CINVESTAV.

–García Cruz, Juan Antonio. La didáctica de las Matemáticas: una visión general. En línea: http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/rtee/didmat.htm.

–Grabiner, Judith V. (1983). The Changing Concept of Change: The Derivative from Fermat to Weierstrass. Mathematics Magazine, 56 :195 – 206,

–Guzmán, Miguel (1993). La enseñanza de la matemática. Texto digital en línea: http://www.oei.es/edumat.htm

–Madrid Casado, Carlos (2009a). Cómo hacer ciencia con aparatos. Un enfoque materialista de la física cuántica. UNED, Empiria. Disponible en línea: http://revistas.uned.es/index.php/empiria/article/view/2003

–Madrid Casado, Carlos (2009b). El cierre de la Topología y la Teoría del Caos. Oviedo: Revista El Basilisco, segunda época, núm. 41.

–Pérez, Javier (2012). Cálculo diferencial e integral de funciones de una variable. (Profesor de la Universidad de Granada, cuyo libro puede consultarse en línea): http://www.ugr.es/~fjperez/apuntes.html

–Spivak, M. (1988). Calculus. Barcelona: Reverté.

–Velarde, Julián (1992). Teoría del «Cierre Categorial» aplicado a las Matemáticas. Revista Meta, Congreso sobre la filosofía de Gustavo Bueno (enero de 1982). Editorial Complutense 1992. En línea: http://www.fgbueno.es/med/dig/meta89e.pdf

Notas

{1} Cf. Por ejemplo, (Dou, 1990, p. 153).

{2} (Bueno, 1995, I.1).

{3} (Puig, 2001, p. 2).

{4} II.5. «La pregunta epistemológica, en cuanto tiene que ver con la idea de conocimiento, se atiene más bien (suponemos) a la distinción entre el sujeto y el objeto, dado que la Idea de «conocimiento» implica siempre el proceso, o la cualidad, &c., de un sujeto orgánico».

{5} Queda la discusión acerca de si es o no una ciencia, y la del rango gnoseológico de la misma fuera del alcance de este trabajo. En cualquier caso, el debate acerca de la cientificidad de la Pedagogía, como de cualquier otra ciencia, solo se puede hacer desde alguna Filosofía de la Ciencia.

{6} 3.3.

{7} Si no se da por supuesto que la Pedagogía es una ciencia, o una disciplina epistemológica, no hay por qué suponer un dualismo objeto / sujeto como el aquí presentado. Juan Antonio García Cruz, por ejemplo, presenta un cuadro de cuatro alternativas didácticas más rico al no partir de este dualismo, en su trabajo titulado La Didáctica de las Matemáticas: una visión general. Disponible en línea: http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/rtee/didmat.htm

{8} Se toma como referencia el trabajo de Antonio Pérez Romero (Universidad Veracruzana): El constructivismo pedagógico. En Línea: http://ww2.educarchile.cl/UserFiles/P0001/File/El%20Constructivismo%20Pedag%C3%B3gico.pdf

{9} Esto no obstará para que se puedan tomar ciertos componentes de este pensador para alguna propuesta de aprendizaje cooperativo.

{10} Entrevista disponible en línea: http://www.ilustracionliberal.com/6-7/entrevista-con-inger-enkvist-julia-escobar.html

{11} En su Panfleto antipedagógico Ricardo Moreno apuesta por una enseñanza que no margine los contenidos, el esfuerzo o la memoria. Su crítica se puede asimilar en muchos puntos a la de Inger Enkvist El texto de Moreno, influyente en España, está disponible en línea: http://www.ugr.es/~fjperez/textos/Panfleto_Antipedagogico_RMoreno.pdf.

{12} Sigue Enkvist: «Esto está basado en la idea romántica del ser humano, procedente de Rousseau, y tiene que ver con la idea de que las personas son buenas en sí mismas y se estropean por la formación de los maestros, en una palabra, por la cultura. Se piensa que si se deja en paz al niño o al joven, podrá desarrollarse por sí mismo y llegará a ser una persona más creativa que si está sujeto a una formación controlada o supervisada».

{13} Como ha señalado el profesor Gustavo Bueno en repetidas ocasiones, los tres fundamentalismos que actúan en nuestros días como Ideas Fuerza son precisamente el Fundamentalismo democrático y el científico, además del religioso. El fundamentalismo democrático supone que la democracia es la fuente de todos los valores de convivencia humana y la democracia el final de la Historia. El fundamentalismo científico considera que la única fuente de verdades objetivas válidas es la que proporcionan las ciencias; cualquier afirmación quedaría automáticamente justificada si se añade la coletilla «lo dice la ciencia». Consultando esta página el lector podrá hacerse una adecuada idea de lo que el profesor Bueno entiende por fundamentalismo: http://www.fgbueno.es/gbm/gb2010fd.htm.

{14} Bueno, 1990. Ya en los Ensayos Materialistas de 1972 se explica con esta terminología.

{15} Madrid, 2009b, p.25.

{16} Ib., p. 24.

{17} Para ver en detalle la clasificación que seguirá a continuación puede verse el excelente trabajo de (Julián Velarde, 1992).

{18} Bueno, 1995, III. Solo advertir que en el texto citado de Bueno se dan criterios para clasificar las Filosofías de la Ciencia; asimismo se ofrece una Filosofía sobre la estructura y cuerpo de las ciencias, cuyo nudo serían los teoremas o identidades sintéticas. Para una justificación más detallada, véase la referencia citada.

{19} El problema de si hay o no una unidad de fondo queda fuera del alcance de este trabajo. Veáse (Bueno, 1979).

{20} El Aprendizaje cooperativo también se complementa con la EMR, trabaja más la parte que aquí hemos llamado Eje pragmático.

{21} Dejamos de lado los ejercicios de manipulación (como los llama el valenciano Grupo Cero, entre los que estaba por Luis Puig, gran estudioso de Hans Freudenthal) aun reconociendo que son necesarios para la adquisición de ciertas técnicas matemáticas (algebraicas, geométricas, etc.).

{22} Los principios de la Educación Matemática Realista. Disponible en línea: https://lasmatesdeinma.files.wordpress.com/2011/11/principios-de-educacion-matematica-realista.pdf

 

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