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El Catoblepas, número 46, diciembre 2005
  El Catoblepasnúmero 46 • diciembre 2005 • página 11
Artículos

Cómo ser John Malkovich
o las paradojas lógicas

Carlos M. Madrid Casado

Comunicación presentada en el 42 Congreso de Filósofos Jóvenes,
celebrado en Salamanca del 12 al 15 de abril de 2005

Sócrates. ¿No hay ninguna manera de eliminar estas paradojas?
Teeteto. Hay una manera muy simple, Sócrates.
Sócrates. ¿Cuál es?
Teeteto. Evitarlas, como hace casi todo el mundo, y no preocuparse por ellas.       (Popper: 1983, 372.)

Cómo ser John MalkovichEn 1965, Sir Karl Popper publicó en Mind un sugerente diálogo, del que este fragmento forma parte, entre Sócrates y el matemático Teeteto. Ambos discuten acerca de cómo las paradojas lógicas también se presentan en el lenguaje común. Nuestro objetivo en esta comunicación no es otro que mostrar cómo éstas además se presentan –metafóricamente– en el lenguaje cinematográfico, en el Cine. Partiendo del análisis filosófico de las relaciones generales entre Lógica, Matemáticas y Cine, nos detendremos en el estudio detallado de la película Cómo ser John Malkovich del director Spike Jonze. La tesis que sostendremos es que las delirantes situaciones a que se enfrentan sus protagonistas están fundadas, antes que en contradicciones del sentido común, en la sistemática negación de ciertos axiomas de la Teoría de Conjuntos. De hecho, argumentaremos que tales negaciones, íntimamente ligadas con la cuestión de la circularidad, quedan magníficamente ilustradas en la escena en que el propio John Malkovich logra meterse dentro de sí mismo.

De Lógica, Matemáticas y Cine

La relación que un determinado filme cinematográfico puede guardar, caso de hacerlo, con la Lógica y la Matemática puede ser de dos maneras:

(i) material.
(ii) formal.

Hablaremos de que se establece una relación material cuando la materia o contenido de la película tenga ya que ver con la Lógica o la Matemática. Así, por ejemplo, Una mente maravillosa (dirigida por Ron Howard y galardonada con 4 Oscar, incluyendo Mejor Película) o El indomable Will Hunting (dirigida por Gus Van Sant y galardonada con 2 Oscar, incluyendo Mejor Guión Original); puesto que la primera aborda la vida del brillante matemático John Nash, inventor de la Teoría de Juegos (interpretado por Russell Crowe), y la segunda nos acerca a las penas del joven Will Hunting, genio matemático en potencia (interpretado por Matt Damon). Y hablaremos de que se establece una relación formal cuando sea la forma –o, si se prefiere, el metalenguaje más bien que el lenguaje– de la película lo que ofrezca semejanzas con la Lógica o la Matemática. Así, por ejemplo, nuestro caso de estudio, Cómo ser John Malkovich, pues las relaciones que pretendemos mostrar entre éste y la Teoría de Conjuntos se construyen a otro nivel, ya que en ningún instante del filme se menciona nada cercano a la Lógica o a las Matemáticas.

Cómo no ser John Malkovich

La historia concebida por Charlie Kaufman es esencialmente la siguiente: Craig Schwartz (interpretado por John Cusack) es un titiritero callejero sin éxito –entre otros motivos, porque, curiosamente, suele representar los sombríos amoríos entre Abelardo y Eloísa– que decide buscar trabajo como archivero –debido a la gran destreza de sus dedos– en una oficina sita en la planta 7 (sic) de un rascacielos de Nueva York. Como buen marionetista, pervive obsesionado con la idea de ponerse en la piel de otra persona, y un día su sueño se hace realidad. Mientras busca un archivo que se la ha caído detrás de un armario de oficina, descubre un diminuto túnel que conduce directamente al interior de John Malkovich (interpretado, evidentemente, por sí mismo). Cuando alguien se deja deslizar por el túnel, acaba metiéndose en la piel del mismísimo John Malkovich durante aproximadamente un cuarto de hora, hasta que resulta expulsado y reaparece en la cuneta de la autopista a Nueva Jersey. Si denotamos a Craig Schwartz por C y a John Malkovich por JM, podemos representar tal alucinante experiencia de un modo muy natural, a saber:

CJM

donde ∈ es el símbolo de pertenencia usual (de esta manera, poco a poco, vamos a ir introduciendo el bagaje simbólico necesario para nuestra posterior digresión sobre Teoría de Conjuntos, que siempre permanecerá en el ámbito de una Teoría Intuitiva de Conjuntos, pues la heterogeneidad del público nos hace desestimar un acercamiento formalmente riguroso al estado de la cuestión).

Figura de monigotes «CJM»
 
Figura de monigotes

Entre el titiritero Craig, su mujer Lotte (Cameron Diaz) y su compañera de trabajo Maxine (Catherien Keener) montan un negocio –no exento de líos sentimentales entre el trío de protagonistas– que explota la enigmática vivencia –¡cómo ser John Malkovich!– a que da acceso el tenebroso pasadizo. Así, muchísimas personas, denotémoslas por X, Y, Z, &c., pagan por ser John Malkovich por un rato:

XJM
YJM
ZJM
·
·
·

Sin embargo, John Malkovich comienza a sospechar, porque a veces oye voces dentro de su cabeza. Tirando del hilo, descubre el pastel, y decide que él también quiere cruzar el sorprendente portal... Como exclama Craig cuando Malkovich le hace saber su extraño deseo de convertirse en Malkovich, en sí mismo: «¿QUÉ PASA CUANDO UN HOMBRE CRUZA SU PROPIA PUERTA?».

Figura de monigotes «JMJM»
 
Figura de monigotes

Ahora bien, antes de analizar la solución que aporta el guionista, reflexionemos sobre el abanico de posibilidades que se nos abre. Cuando un individuo cualquiera atravesaba el túnel, desaparecía del mundo real y aparecía dentro de Malkovich, dondequiera que éste se encontrara en dicho instante (ya fuera en su casa, en la ducha o en la cama); pues bien, apliquemos este patrón de comportamiento al peculiar caso que nos ocupa: cuando Malkovich se interna en el túnel, desaparecerá del mundo real y aparecerá dentro de Malkovich, pero, paremos un momento, ¿dónde demonios está Malkovich es ese instante? ¡Repárese en lo misterioso que todo resulta! Una posible solución, del agrado de Borges (conocida su admiración por el Mapa de Royce: «Imaginemos que una porción del suelo de Inglaterra ha sido nivelada perfectamente y que en ella traza un cartógrafo un mapa de Inglaterra. La obra es perfecta; no hay un detalle del suelo de Inglaterra, por diminuto que sea, que no esté registrado en el mapa; todo ahí tiene su correspondencia. Ese mapa, en tal caso, debe contener un mapa del mapa, que debe contener un mapa del mapa del mapa, y así hasta lo infinito»), sería imaginar que, al caer por el túnel, Malkovich se metería dentro del Malkovich que está cayendo por el túnel, que a su vez se metería dentro del Malkovich que está dentro del Malkovich que está cayendo por el túnel, que a su vez se metería dentro del Malkovich que está dentro del Malkovich que está dentro del Malkovich que está cayendo por el túnel, ad infinitum... es decir, nos encontraríamos con una especie de muñecas rusas con silueta de Malkovich tales que cada una de ellas siempre encerraría una más en su interior. Obviamente, dada la imposibilidad manifiesta de rodar esta escena, acontece en la película que John Malkovich se ve transportado a un onírico mundo poblado por una legión de Malkovichs. Todos y cada uno de sus moradores poseen la cara de Malkovich, y la única palabra que son capaces de proferir es 'Malkovich'. A su regreso de tal pesadilla, nuestro protagonista exclama: «¡HE VISTO EL LADO OSCURO!».

Bueno, la pregunta que ahora debemos hacernos es: ¿por qué esta situación cinematográfica resulta tan paradójica? De otro modo, tenemos que averiguar qué presenta la situación

JMJM

que no presentaba la situación

CJM

ya elucidada. Y la respuesta es sencilla: presenta la tan traída autopertenencia, autorreferencialidad o circularidad. Antes de retomar el análisis de la película, necesitamos introducir una serie de nociones lógico-matemáticas, que presentaremos de un modo intuitivo, porque, al decir de Ortega, la claridad es la cortesía del filósofo, aunque ello lógicamente repercutirá en su distinción rigurosa.

Unas gotas de lógica matemática

El matemático Henri Poincaré fue el primero en indicar que la circularidad o autorreferencialidad o autopertenencia era la fuente de las paradojas que asaltan con frecuencia a las llamadas ciencias formales (Lógica y Matemáticas) –digamos, de paso, que la raíz de las paradojas de las ciencias reales (paradoja de los gemelos en Teoría de la Relatividad, paradoja de la recurrencia en Termodinámica o, también, como veremos, paradoja de Banach-Tarski contemplada como inserta en una Teoría protofísica de la Medida...) es muy distinta, y más bien está relacionada con confrontaciones entre asertos científicos y sentido común. Estas paradojas formales se sustentan en el uso de definiciones impredicativas, en sus propias palabras:

[Impredicative definitions are] definitions by a relation between the object to be defined and all the objects of a certain kind of which the object to be defined is itself supposed to be a part (or al least some objects which depend for their definition on the object to be defined). (Citado en Hatcher (1968, 115).)

Esta idea sería recuperada por Bertrand Russell y acabaría sedimentando en su egregio principio de círculo vicioso:

The principle which enables us to avoid illegitimate totalities may be stated as follows: 'Whatever involves all of a collection must not be one of the collection'; or, conversely: 'If, provided a certain collection had a total, it would have menbers only definable in terms of that total, then the said collection has no total'. (Citado en Hatcher (1968, 117).)

(De hecho, nótese la circularidad manifiesta en el suceso consistente en que John Malkovich atraviese el túnel que conduce a John Malkovich, esto es, a sí mismo (¡!).)

No es extrañar, pues, que la violación de este principio conduzca a paradojas, que como recoge Haack (1982, 275) son «también conocidas como 'antinomias'» y consisten en «contradicciones derivables en teoría de conjuntos y en semántica». Implícitamente, Susan Haack se está haciendo eco de la archiconocida distinción elaborada por F. P. Ramsey entre paradojas lógicas –o formulables en términos lógicos y matemáticos (¡las que dan título a esta comunicación!)– y paradojas semánticas –en que intervienen términos ajenos tales como 'verdad' o 'definibilidad'–, pero como apunta de Lorenzo (1998, 161) esta clasificación tópica resulta superficial porque «la precisión obtenida en el desarrollo lógico actual indica que [ciertas] paradojas del segundo grupo pertenecen al primero, ya que algunas de las nociones sintácticas y semánticas han quedado incorporadas a lo que hoy se califica de Lógica matemática o formal». Ejemplos del primer grupo serían las paradojas de Cantor{1} (1899), Russell (1902), &c. Ejemplos del segundo grupo serían las paradojas de Epiménides{2}, Berry{3} (1906), Grelling{4} (1908), &c.

A continuación, vamos a presentar sucintamente la principal paradoja que marcó la crisis de fundamentos de la matemática de principios del siglo XX: la paradoja de Russell.{5} Además, al decir de Quine (1992, 134), «todas esta paradojas [las paradojas de la Teoría de Conjuntos] conciernen en último término al predicado de pertenencia '∈ '», y ésta es la pista que emplearemos para acabar relacionando nuestra pasada disertación sobre Cómo ser John Malkovich con la presente sobre Teoría de Conjuntos.

Hasta la primavera de 1901, tiempo en que Russell formuló su propia paradoja, se consideraba, de acuerdo con Frege y Cantor, que a cada propiedad corresponde una clase: la clase conformada por las entidades que poseen esa propiedad. Russell estaba estudiando el comportamiento de las clases impropias, id est, de aquéllas que son miembro de sí mismas. Pongamos por caso, la clase de todas las clases o la clase de todos los conceptos (pues, como resulta ser otro concepto, se autopertenece); análogamente, si en una biblioteca se coloca un catálogo con tapas negras de todos los libros de la biblioteca que tengan tapas negras, entonces dicho catalogo se autocatalogará. Tomemos, ahora, la clase R de todas las clases que poseen la propiedad de no ser miembros de sí mismas, formalmente: R = { x : x Ï x }. Y preguntémonos si R es miembro de sí mismo, es decir, si RR es el caso. Pero si RR, entonces, por definición, R Ï R. Y, recíprocamente, si R Ï R, entonces RR. En suma, se obtiene la contradicción:

RRR Ï R

Conviene añadir que contradicciones similares se siguen del acertijo del barbero (ideado, según Russell, por un conocido suyo al que no menciona: supongamos que un hombre de Salamanca ha afeitado a todos y sólo a todos los hombres que no se afeitaban a sí mismos, pues, entonces, ese hombre se afeitó a sí mismo si y sólo si no se afeitó a sí mismo{6}) y de muchos otros raciocinios{7}. Llegados a este punto, teniendo en cuenta lo anterior, percatémonos de que JMJM si y sólo si John Malkovich se encuentra en el mundo real (para que así JM al deslizarse por el túnel pueda meterse dentro de él), pero esto último sólo se da si, equivalentemente, JM Ï JM, dicho en román paladino, si no está en el túnel (¡!). De nuevo, llegamos al absurdo:

JMJMJM Ï JM

Precisamente, los axiomas de la Teoría de Conjuntos (ZFC{8}) intentan soslayar y bloquear esta circularidad que precipita mediante diversas estrategias en la inconsistencia de la paradoja de Russell. Es más, gracias a ellos, resulta posible evitar la sorprendente actuación de Malkovich, su decisión de internarse en el pasadizo para lograr JMJM, pues este tipo de fórmulas carecen de sentido en ZFC, puesto que el Axioma de Fundamentación o de Regularidad (Mirimanoff 1917 - Skolem 1923 - von Neumann 1925){9} implica que ningún conjunto se pertenece a sí mismo{10}, simbólicamente:

x (x Ï x)

(lo que entra en franca contradicción con JMJM). Además, el Axioma de Fundamentación o Regularidad impide la existencia de loops (bucles){11}, simbólicamente:

¬∃ab... ∃z (ab ∈... ∈ za)

(loops o bucles en los que la película es muy rica: así, antes de que dé comienzo la trama final en que los inmortales pelean por expulsar a Craig del cuerpo recipiente que es John Malkovich, asistimos a una irónica escena en que Craig está controlando a Malkovich, que a su vez está manejando una marioneta con forma de Craig, que a su vez maneja los hilos de un segundo muñeco similar a Malkovich).

Autopertenencia, autorreferencia o circularidad que no es patrimonio de la Lógica matemática (como remarca de Lorenzo (1998, 174): «por no continuar, Gödel, en su demostración, recordará el empleo de la paradoja de Berry como uno de los motores de la idea de su demostración..., y el elemento considerado por Poincaré como causa de las antinomias, la autorreferencia, se convierte en uno de los instrumentos más operativos a través de los teoremas de punto fijo...») o, como hemos puesto en relieve, de ciertas escenas de Cómo ser John Malkovich, porque, como subraya Hofstadter (1987), también se palpa en la pintura de Escher (en concreto, en aquel par de manos dibujándose mutuamente) e incluso se paladea en la música de Bach (en especial, según comenta, en su Ofrenda musical).

Conclusión

Hace exactamente 26 años, con motivo del XVI Congreso de Filósofos Jóvenes, Imagen, símbolo, realidad, Gustavo Bueno hiló una serie de reflexiones en torno a ciertas cuestiones metodológicas previas relacionadas con la delimitación de los conceptos e Ideas ligados a la realidad, la imagen y el símbolo; pues bien, si nos ceñimos al armazón filosófico allí forjado, cabe calificar nuestra reconstrucción de la película Cómo ser John Malkovich, antes que como imagen poética que podría resolverse en sus partes objetivas y subjetivas (en nuestro caso, emparentadas con el hecho de que el autor de esta comunicación haya estudiado ciencias matemáticas), como símbolo de la realidad cinematográfica pre-existente, pues «el simbolismo de las fórmulas lógicas o matemáticas, entendidas, no como imágenes de relaciones ontológicas previamente dadas, sino como metros o cánones de ulteriores situaciones o procesos que pueden ser construidos de acuerdo con ellas [en nuestro caso, ciertos aspectos del filme] sería acaso el simbolismo dotado de una mayor extensión dentro del universo racional» (Bueno: 1980, 65).

Realizada esta matización, sólo nos resta atar un cabo suelto: precisamente el que atañe a la originalidad de nuestra tesis. Expliquémonos: nuestra tesis consistía básicamente en afirmar que lo que nos sorprende en Cómo ser John Malkovich no es sino la negación de los esquemas del Axioma de Fundamentación o Regularidad de la Teoría de Conjuntos, pero ¿no podría ser que la presunta originalidad de nuestro análisis fuera meramente aparente? En efecto, podría pensarse que lo que de hecho conculca la sucesión de acontecimientos cinematográficos en Cómo ser John Malkovich es una gama de creencias acordes con el sentido común, y como los axiomas de la Teoría de Conjuntos están fundados en aquél, pues nuestra comunicación no sería sino un modo rebuscado o pedante de decir que el filme entra en contradicción con nuestras intuiciones de sentido común y, que, por tanto, éste contiene dosis importantes de ciencia-ficción, o mejor, de fantasía.

Sin embargo, resulta sencillo refutar esta crítica. Acudiremos para ello a un exemplo de matematización al que ya hemos recurrido en otras ocasiones.{12} Atenderemos a cierto monstruo topológico que muestra que sentido común y axiomas de la Teoría de Conjuntos no marchan de la mano. Dato que garantizará la originalidad y pertinencia de nuestra tesis. Nos referimos a la construcción que conduce a la paradoja de Banach-Tarski. Construcción que podría pensarse no es más que un mero divertimento perteneciente al ámbito de la matemática pura, pero que, conviene no olvidar, resulta de gran interés desde una perspectiva filosófica asociada a la matemática aplicada (sirva como ilustración que van Fraassen (1996, 222) la considera a la hora de formular su interpretación frecuentista modal de la probabilidad en ciencia empírica). El teorema oculto tras de ella –que, por cierto, hace un uso indispensable del controvertido axioma de elección{13}– produce la siguiente descomposición paradójica de conjuntos en el espacio tridimensional: dada cualquier esfera sólida S, siempre puede descomponerse en un número finito n de partes disjuntas, de tal modo que, a partir de un cierto número n' de ellas, con n' < n (¡esto es lo paradójico!), podemos reconstruir una esfera idéntica a S por medio de movimientos rígidos (sin deformación). Es decir, dada S, es matemáticamente posible construir otras dos esferas sólidas disjuntas S1 y S2 que son equivalentes a S (por descomposiciones finitas) y del mismo radio que S. Nos encontramos, pues, ante la contrapartida matemática del milagro bíblico de los panes y los peces, el teórico de conjuntos Mariano Martínez Pérez (1991, 337) lo recrea irónicamente de tal manera:

Jesús de Nazaret: Tomad estos cinco panes y estos dos peces y dad de comer a esas cinco mil personas que nos siguen, y además a las mujeres y a los niños [sic].
Los discípulos: Pero, Señor, ¿podemos utilizar el axioma de elección?
Jesús de Nazaret: ¡Pues claro, coño! Pero bueno, ¿dónde os han enseñado a vosotros matemáticas, en la Universidad Complutense o qué? ¡Buena carrera lleváis! ¡El día que falte Yo, no sé qué vais a hacer!
Paráfrasis (respetuosa) de Mateo 14, 15-21, sugerida por The Banach-Tarski paradox de S. Wagon, pág. V.

¿Tolera el sano sentido común este sorprendente resultado propio de Teoría de la Medida ⊕ Teoría de Conjuntos? Sospechamos que la respuesta es NO. Utilizando palabras del lógico Solomon Feferman (2000, 327): «common-sense and set-theoretical intuitions are in actual conflict». Y esto fue lo que pretendió poner nítidamente de manifiesto nuestra exégesis de Cómo ser John Malkovich.

El sentido común no es un faro lo bastante poderoso
para mantenernos a salvo del riesgo de vernos zozobrar
contra los escarpados salientes de la lógica.
(Nidditch: 1995, 80.)

Referencias

a. Audiovisuales:

Cómo ser John Malkovich, Spike Jonze, Universal Pictures Iberia, 2003, DVD.

El indomable Will Hunting, Gus Van Sant, Lauren Films Video Hogar, 1998, VHS.

Una mente maravillosa, Ron Howard, Dream Works Home Entertainment, 2002, VHS.

b. Bibliográficas:

BENITO SANTOS, Serafín (2004): «El análisis de la denotación en la paradoja del mentiroso», en Agustín Vicente, Patricia de la Fuente, Cristina Corredor, Juan Barba & Alfredo Marcos (eds.): Actas del IV Congreso de la Sociedad de Lógica, Metodología y Filosofía de la Ciencia en España, SLMFCE, Valladolid, págs. 234-236.

BUENO, Gustavo (1980): «Imagen símbolo, realidad (cuestiones previas metodológicas ante el XVI Congreso de Filósofos Jóvenes)», El Basilisco, 1ª época, nº 9, págs. 57-74.

DOU, Alberto (1974): Fundamentos de la matemática, Labor, Barcelona.

FEFERMAN, Soloman (2000): «Mathematical Intuition versus Mathematical Monsters», Synthese, nº 125, págs. 317-332.

FERREIRÓS DOMÍNGUEZ, José (1991): El nacimiento de la teoría de conjuntos, 1854-1908, Universidad Autónoma, Madrid.

FRAASSEN, Bas C. van (1996): La imagen científica, Paidós, México.

GEORGE, Alexander & VELLEMAN, Daniel (2002): Philosophies of Mathematics, Blackwell, Oxford.

HAACK, Susan (1982): Filosofía de las lógicas, Cátedra, Madrid.

HATCHER, William S. (1968): Foundations of Mathematics, Saunders Company, Philadelphia.

HOFSTADTER, Douglas R. (1987): Gödel, Escher, Bach. Un eterno y grácil bucle, Tusquets, Barcelona.

HRBACEK, Karel & JECH, Thomas (1990): Introduction to Set Theory (Third Edition, Revised and Expanded), Marcel Dekker, New York.

LORENZO, Javier de (1998): La matemática: de sus fundamentos y crisis, Tecnos, Madrid.

MADRID CASADO, Carlos Miguel (2004a): «Kant y el helecho de Barnsley», en Agustín Vicente, Patricia de la Fuente, Cristina Corredor, Juan Barba & Alfredo Marcos (eds.): Actas del IV Congreso de la Sociedad de Lógica, Metodología y Filosofía de la Ciencia en España, SLMFCE, Valladolid, págs. 350-352.

—— (2004b): «A vueltas con Kant y las Matemáticas», El Basilisco, 2ª época, nº 34, págs. 73-80.

MARTÍNEZ PÉREZ, Mariano (1991): «Algo más sobre la historia de la Teoría de la Medida (1904-1930): La paradoja de Banach-Tarski», en Seminario de Historia de la Matemática I, Universidad Complutense, Madrid, págs. 335-430.

NIDDITCH, P. H. (1995): El desarrollo de la lógica matemática, Cátedra, Madrid.

POPPER, Karl R. (1983): «Autorreferencia y significado en el lenguaje común» en Karl R. Popper: Conjeturas y Refutaciones, Paidós, Barcelona, págs. 367-374.

QUINE, Willard Van Orman (1992): La búsqueda de la verdad, Crítica, Barcelona.

VELARDE, Julián (1982): Lógica formal, Pentalfa, Oviedo.

Notas

{1} Si V es el 'conjunto' de todos los conjuntos (i. e. V = { x : x = x }), entonces se tiene que, como en general demostró Cantor, card(V) < card(P(V)). Por otra parte, por definición de V, se tiene que P(V) ⊆ V, luego card(V) ≥ card(P(V)). Absurdo.

{2} Cf. Benito Santos (2004) para una muy curiosa exposición y solución a la paradoja del mentiroso.

{3} Resulta que la expresión 'el menor número natural que no puede ser nombrado en menos de cuarenta sílabas' ya nombra en menos de cuarenta sílabas tal número.

{4} Digamos que un adjetivo se denomina 'heterológico' si la propiedad por él expresada no puede aplicarse a sí mismo. De acuerdo a esto, el adjetivo heterológico es heterológico si y sólo si no es heterológico.

{5} Para seguir con más detalle esta historia, emplazamos al lector a Ferreirós Domínguez (1991, Epílogo), Dou (1974, Capítulo 1 de la 2ª Parte) y George & Velleman (2002, Capítulos 2 y 3 especialmente).

{6} No podemos entrar en los métodos que Russell (Teoría de Tipos de Principia Mathematica) y otros (en sus respectivas Teorías de Conjuntos: ZFC, NBG ó MKM) idearon para soslayar su paradoja, pero sí diremos que éstos se fundamentan: o bien en la exigencia de que XY sólo será fórmula si los valores de Y son del tipo inmediatamente superior al tipo de valores de X (con lo que las formulaciones que conducen a la paradoja carecen de sentido), o bien en la distinción entre clases propias o conjuntos y clases impropias (en cuyo caso, lo que demuestra la paradoja es la inexistencia de un conjunto como R o de un individuo como el barbero de Salamanca).

{7} Como, verbigracia, la paradoja divina de resonancias russellianas que reseña Velarde Lombraña (1982, 227-229). Si partimos de la siguiente terna de 'Dogmas Católicos': (1) Dios (la Trinidad) es Padre, Hijo y Espíritu Santo [∀x (xD → (xPxHxE)]; (2) El Padre es Dios, el Hijo es Dios y el Espíritu Santo también es Dios [∀x (xPxD) ∧ ∀x (xHxD) ∧ ...]; y (3) Dios Padre es distinto de Dios Hijo y de Dios Espíritu Santo, Dios Hijo es distinto de Dios Padre y de Dios Espíritu Santo, y, finalmente, Dios Espíritu Santo es distinto de Dios Padre y de Dios Hijo [(DP → (DÏHDÏE)) ∧ ...]. Entonces, mediante mero cálculo, podemos deducir formalmente que 'Dios es Dios si y solamente si Dios no es Dios' [DDDÏD]. (¡Si San Anselmo levantara la cabeza...!)

{8} Nos ceñiremos en concreto a ZFC tal y como aparece desglosada en Hrbacek y Jech (1990).

{9} Nos atenemos a su versión 'global' [si llamamos A = {x : φ(x)}, entonces el esquema de axioma resulta ser A ≠ Ø → ∃x (xAxA = Ø]. Existe otra 'local' debida a Bernays y Gödel (1940), pero, teniendo en cuenta que nos hemos restringido a ZFC, basta reseñar que ambas versiones son equivalentes en ZF.

{10} Ya que el axioma antedicho permite inferir lo deseado: supongamos existiera z con zz, tomando {z} y aplicando el axioma llegamos a que x = z cumpliendo z∩{z} = Ø, pero, por otro lado, z∩{z} ≠ Ø al pertenecer z a z (por hipótesis) y a {z} (trivial), absurdo.

{11} Para demostrarlo tómese {a, b, ..., z}.

{12} Cf. Madrid Casado (2004a) y (2004b).

{13} Expresado en román paladino, retomando una explicación de Russell, lo que precisa el axioma de elección es, a saber: Imaginemos un millonario que, cada vez que compra una caja de zapatos, compra una caja de medias. Supongamos, además, que ya posee una colección infinita de cajas de zapatos y otra igual de cajas de medias. Si desease comprobar que efectivamente tiene igual número de cajas de zapatos y medias, podría ir sacando el zapato derecho de cada caja de zapatos y emparejándolo con una media de una caja de medias recién abierta (si las cajas de zapatos y de medias sin abrir se agotasen al tiempo, sabría que posee igual cantidad). Pues bien, esto último no podría llevarlo a cabo sin emplear el axioma de elección porque este axioma es lo que posibilitaría que realizase infinitas elecciones arbitrarias en la colección de cajas de medias (pues, mientras que en cada caja de zapatos siempre puede seleccionar el derecho, no hay diferencia alguna entre medias al no existir una media derecha distinta de una media izquierda).

 

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