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El Catoblepas
  El Catoblepasnúmero 10 • diciembre 2002 • página 10
Arco de medio punto

Matemáticas y ciencias morfológicas
Homenaje a René Thom

Fernando Pérez Herranz

El pasado 25 de octubre falleció René Thom, el creador de la famosa Teoría de las Catástrofes. Le dedicamos esta primera entrega de Arco de medio punto, en la que se incluye una conversación con Víctor Gómez Pin

René Thom: Montbéliard (Doubs, Francia) 2 septiembre 1923 - Bures-sur-Yvette (Essonne, Francia) 25 octubre 2002René Thom: Montbéliard (Doubs, Francia) 2 septiembre 1923 - Bures-sur-Yvette (Essonne, Francia) 25 octubre 2002René Thom: Montbéliard (Doubs, Francia) 2 septiembre 1923 - Bures-sur-Yvette (Essonne, Francia) 25 octubre 2002

Las melodías de René Thom

René Thom, el creador de la famosa Teoría de las Catástrofes, murió en Bures-sur-Yvette el pasado día 25 de octubre. Nacido en Montbéliard en 1923, recibió la medalla Fields, galardón considerado como el Nobel de las matemáticas, en 1958. Thom es un matemático que hace filosofía –reivindicando nada menos que a Aristóteles– y un filósofo que descubre nuevos territorios matemáticos –nada menos que la teoría topológica de las singularidades y bifurcaciones, conocida, de manera poco afortunada, como Teoría de las Catástrofes. Pues nada tiene que ver con sucesos infaustos o desgraciados, sino con los saltos o cambios que se producen en los sistemas dinámicos: físicos, biológicos, conceptuales... Podríamos decir que la Teoría de las Catástrofes estudia desde el punto de vista matemático lo que vulgarmente se conoce como «la gota que colma el vaso», esa mínima gota que provoca que el agua se derrame y se pase de un estado inestable a otro estable. Thom demostró que para los sistemas en los que interviene una o dos variables y en los que influyen hasta cuatro parámetros (tiempo, temperatura, gradientes...), hay siete rupturas o catástrofes elementales, a las que se dieron nombres muy plásticos e intuitivos: pliegues, cúspides, colas de milano, mariposas y ombligos –elíptico, hiperbólico y parabólico–{1}.

¿Cómo ha sido posible esta composición filosofía/matemáticas, perdida quizá desde el siglo XVII, aquel siglo de los Descartes, Leibniz, Newton o Espinosa? Mucho han tenido que ver, parece, los seculares recelos galos ante el empuje anglosajón. Thom es el mejor representante de una institución francesa llamada «Institut des hautes études scientifiques (IHES)» , que pretendió evitar la «fuga de cerebros» franceses a EEUU, aunque, eso sí, copiando el modelo americano de la Universidad de Pricenton, que se fundó casi con el exclusivo objeto de albergar a Einstein. Tanto en Pricenton como en el IHES, los científicos no tenían otra cosa que hacer más que investigar: ni tenían alumnos ni tenían que emplearse en actividades burocráticas. Allí se podía vivir la ciencia pura sin preocupaciones por sus rendimientos en el mercado. Pero Francia no es EEUU. Y una investigación pura que no puede conjugarse con los intereses industriales, provoca la fatídica pregunta: ¿Para qué sirve, entonces? Y así empiezan las tensiones entre quienes quieren dirigirse sin más hacia la producción industrial y quienes quieren mantener la investigación pura, pues ¡ya se ocuparán otros de encontrar finalidades!

Pero es esta última respuesta la que incita a la desconfianza, si es que la ciencia pura es responsable por haber dado las claves para la construcción de la bomba atómica, la mayor amenaza contra la vida en la Tierra. Entonces se plantea uno de esos dilemas a los que nuestro tiempo obliga: o se apuesta por el «hacer» o se apuesta por el «vivir». ¿Habría que seguir cooperando con la parafernalia militar o abandonar la actividad científica por un movimiento pacifista? Alexander Grothendieck dimite del IHES, porque el tres y medio por ciento de sus subvenciones procedía del Ejército.

En esos momentos de duda, aparece la obra de René Thom, una investigación pura de la Topología diferencial, con capacidad para aplicarse a la Biología, a la Física e incluso a las Ciencias Humanas. Thom representó la posibilidad de una tercera vía: la del «saber». Había que buscar el «sentido» de las matemáticas, sin reducirlas a un mero lenguaje formal –forma pura–, ni convertirlas en matemáticas aplicadas prestas a degradar cualquier sistema al que se asocie. Había que encontrar el sentido de las cosas, en tanto en cuanto son formas, morfologías. Pero ese proyecto exigía una filosofía: si no estaba avalado por la industria, no podía caer en manos de la irracionalidad ni en movimientos alternativos-utópicos, en los que profetas e iluminados aprovechen estas zonas de inestabilidad y creatividad científicas para conducir la investigación hacia esas nuevas eras de la humanidad en las que surgirán desconocidos niveles de percepción, nuevos paradigmas «acuarios» en los que se alcanzará la plenitud vital y cosas por el estilo. Una filosofía que mostrase el sentido de nuestro mundo intercósmico, es decir, el mundo de la vida entre el macrocosmos –explicado por la teoría de la relatividad– y el microcosmos –explicado por la mecánica cuántica–. Quizá un optimismo exagerado en las posibilidades de esta forma de plantear las cosas llevó a algunos enamorados de la Teoría topológica de Thom a extrapolaciones que, a la larga, han sido muy contraproducentes para su desarrollo. Así ocurrió con las aplicaciones a fenómenos sociales o psicológicos de Zeeman{2} (a quien, por cierto, se le debe el nombre de «Teoría de las Catástrofes» (TC)), un título que procede por analogía de la «catástrofe ultravioleta»{3} tratada por los físicos.

A pesar del fracaso –según los cánones del positivismo– de la TC como teoría científica aplicada, Thom ha abierto las matemáticas a las formas o morfologías del mundo, con el fin de comprenderlo, de encontrar su sentido, y no sólo movidas por el interés de predecir sucesos, clásico ejercicio decimonónico de la ciencia. Y ha empezado a mostrar su poder para hacerlo al permitir acercarse a través de muchos de su conceptos fundamentales –estabilidad estructural, bifurcaciones, atractores...– a la comprensión de fenómenos naturales tan complejos y tan corrientes como «la forma de una nube, la caída de una hoja, la espuma de un vaso de cerveza». La labor de Thom, sin duda, no habrá sido en vano. Descanse en paz envuelto por aquellas maravillosas morfologías que su genio supo descubrir.

Las formas de la naturaleza en clave matemática

Al echar un vistazo a la historia de las ciencias, una de las cosas que más sorprenden es comprobar cómo sociedades que difieren enormemente en lo político, lo cultural o lo religioso, coinciden en su rechazo al estudio del cuerpo humano. Hasta prácticamente el Renacimiento no se empezó a entrar en el mundo interior de nuestro cuerpo para analizar sistemáticamente órganos y aparatos. Y, como ocurre en tantas ocasiones, el saber de lo que se consideraba superior –el cuerpo humano– estimuló el estudio de lo inferior –las plantas, los animales...–. Y se empezó a comprender que existían muchas analogías y homologías entre las partes de unos y de otros, lo que llevó al gran Goethe a tratar de encontrar un tipo morfológico y funcional originario común a los animales y al hombre. Pero los excesos, abusos y arbitrariedades en la búsqueda de analogías consiguieron el rechazo por parte de los científicos analíticos (newtonianos), acostumbrados a considerar el Sol, la Luna o los planetas como masas reducidas a un punto, lo que relegó el estudio de las morfologías a las facultades de Bellas Artes y al goce estético. El mismísimo Kant prohibió el estudio científico de las formas:

«Y es esto, por cierto, tan seguro que se puede con audacia decir que es absurdo para los hombres tan sólo el concebir o esperar el caso de que pueda levantarse una vez algún otro Newton que haga concebible aún sólo la producción de una brizna de hierba según leyes de la naturaleza no ordenadas por una intención; hay que negar absolutamente este punto de vista a los hombres» [Crítica del juicio, § 75, traducción de Manuel García Morente].

En los últimos años, la explicación morfológica ha quedado en manos de la Biología Molecular, que explica los organismos por mediación del código genético y se ha tenido que enfrentar a una cuestión que oscurece la teoría: ¿Cómo puede transformarse la información genética en proteínas? ¿Cómo puede transformarse la información genética (lineal) en formas (tridimensionales): el corazón, el pulmón, los capilares...? Como dice el embriólogo Walter J. Gehring:

«Uno de los misterios de la biología es el modo en que la información lineal contenida en el ADN genera un organismo tridimensional específico en el curso de su desarrollo a partir del huevo fecundado» [W. Gehring, «Base molecular del desarrollo», Construcción de un ser vivo, Barcelona 1996, pág. 101.]

La suposición de que el ADN es como el programa de un ordenador que dice cómo hay que construir una proteína es ¡fíjense qué cosas! reintroducir otra vez el mundo de las analogías. Y, por lo demás, esa codificación no puede ser suficiente. Es necesario recurrir a propiedades del entorno. Por ejemplo, aunque un animal pueda estar codificado para reconocer a su depredador, éste puede transformarse y entonces: ¿cómo le reconocerá en esta nueva situación? Habría dejado de ser eficaz, y éste no es el caso.

Para articular las respuestas pertinentes, se empieza a hacer necesario volver la mirada a la Morfología. Una teoría de la herencia necesita ser completada con una teoría de las morfologías. Y ha sido el matemático René Thom quien ha ofrecido un proyecto de investigación que permite la posibilidad misma de una Morfología ni especulativa ni intuitiva, sino científica, que es la lo que llamamos aquí «ciencias morfológicas». Thom ha sabido acercar las Matemáticas a las «morfologías», y ha estudiado con herramientas topológicas la aparición, la estabilidad y la desaparición de formas a partir de ciertos invariantes que son las rupturas o singularidades. Así ha podido clasificar las maneras de proceder ante esas rupturas –las famosas «catástrofes» elementales– en sistemas dinámicos, lo que permite establecer las líneas generales de una Biología Teórica, que, sorprendentemente, falta como disciplina en la mayoría de las Universidades.

Conversación con Víctor Gómez Pin acerca de René Thom:
«Pasión por la inteligibilidad»

Hace algunos años tuve la oportunidad de participar en un Congreso que sirvió de marco al nombramiento de doctor honoris causa por la Universidad del País Vasco de René Thom. Fue apadrinado por Víctor Gómez Pin, quien resaltó que la Teoría de las Catástrofes quería ser una herramienta de inteligibilidad, que las matemáticas no podían reducirse a mero cálculo. Como quiera que yo mismo había escrito mi tesis doctoral sobre las Ideas filosóficas de la Morfogénesis y del Continuo (implícitas, según mi estudio, en la obra de Thom), nada tiene de particular que tratara de cruzarme con Víctor Gómez Pin para que me hablara de viva voz sobre esa pasión por la inteligibilidad.

Víctor Gómez Pin no es el típico filósofo posmoderno, que sigue las modas de París o de Oxford para aparentar; ni el tópico filósofo escolástico que se enreda con las palabras, que da vueltas y vueltas a lo ya dicho; yo me atrevería a decir que es un filósofo a la manera griega, que se sorprende de las cosas que ocurren a su alrededor: desde las pequeñas miserias humanas hasta la grandeza de la mecánica cuántica. Y lo que le apasiona de verdad es Aristóteles. Un Aristóteles que reflexiona sobre la ciencia, sobre las matemáticas, y que, además, es un adelantado de la termodinámica...

... Para Aristóteles las construcciones de las matemáticas no han de olvidar nunca su fuente. Y ¿cuál es su fuente? Para Aristóteles la fuente son las substancias, es decir, la «materia». Debe recordarlo el topólogo, en su sentido general, es decir, el que se ocupa del espacio, incluso el cronólogo, el que se ocupa del tiempo. Aristóteles tiene, respecto del tiempo, una auténtica premonición del segundo principio de la termodinámica, al enunciar que el tiempo es la cifra del cambio; sí, pero se suele olvidar que dice del «cambio destructor». El tiempo es más bien causa de corrupción que de generación...

... Víctor Gómez Pin había puesto entre paréntesis el estudio de las matemáticas, para dedicarse a la filosofía. Cuando se le fueron cumpliendo los plazos de la vida, al fin pudo recuperarlas, y con ellas abordó uno de los problema centrales de la civilización occidental:¿Cuál es la naturaleza del espacio y el tiempo? ¿Pueden o no disociarse de algún soporte material? Cuestiones complejas que nos ayuda a comprender mediante una metáfora muy bella...

... Si tomas la Biblia y lees el Génesis, inútilmente buscarás allí que se diga: «Hágase el tiempo y hágase el espacio». El Señor no dice eso; dice: «Hágase la luz», es decir, hágase el campo electromagnético. Independientemente de que se sea creyente o no –porque la Biblia es un texto explicativo, tiene la virtud de explicar, y más vale una tentativa de explicación fantástica que un repudio de toda explicación–, si te metes en la lógica interna del texto no hay más que dos posibilidades de lectura: Una, que no hace falta que el Señor cree el espacio y el tiempo porque –como dicen los argentinos– «vienen con». El señor creó la tierra, los animales, las plantas... y como atributo de estos entes, se encuentran el espacio y el tiempo. Otra, que no hace falta que el Señor cree el espacio y el tiempo, porque son atributos del propio creador, los sentidos por medio de los cuales Dios conoce...

... Es ésta cuestión tan central, que le sirve incluso para clasificar a las personas, según la opinión que tengan al respecto. Hagamos el simple ejercicio de preguntar a cualquiera: «Si quitas todo lo que hay aquí –el periódico, la mesa, la habitación...–, ¿qué le queda a Vd.?»...

... Algunos responderán: «No queda nada». Ahí reconocemos a Aristóteles, a Einstein y a los campesinos. Otros responderán: «El espacio y el tiempo, porque son métricas puras, sin soporte material alguno». Ahí reconocemos a Newton, a Kant y a los estudiantes de los primeros cursos de ciencias. Porque esta idea, es curioso, a pesar de ser tan retorcida se ha interiorizado. Mi tesis es que el espacio y el tiempo desencarnados –los de Newton y de Kant– están en las antípodas de los de Aristóteles y Einstein. Por ejemplo, el espacio es el envoltorio, el receptáculo, la variedad bidimensional que toca por doquier a una variedad tridimensional (esto –coge Víctor un borrador de la mesa– tiene su espacio ahora en mi mano, porque lo toca por doquier, pero hay espacio porque eso está ahí). Este espacio y este tiempo de Aristóteles, de Einstein, es también el espacio de Proust. En el capítulo «Tiempo reencontrado», Proust asiste a una fiesta de la aristocracia agonizante, en el salón de los Guermantes y no reconoce a nadie, porque todos aquellos cuerpos habían sido .... Yo lo traduzco en términos de Aristóteles: «Necesariamente el tiempo es efectivo»; intrínsecamente efecto; sin efecto no hay tiempo...

... Parecería que, de alguna manera, Víctor Gómez Pin nos devolviera al frescor conceptual de los griegos. Pero en una época como la nuestra en la que el ruido impide toda conversación en el ágora, ¿queda alguien que se encontrara en el mundo griego como en su propia casa? Víctor Gómez Pin le conoce y le reconoce, más aun, le apadrinó como doctor honoris causa en S. Sebastián. Es René Thom, matemático y medalla Fields –equivalente a premio Nobel–, que habría hecho las delicias de platónicos y aristotélicos...

... La construcción teorética de Thom sería fascinante para un platónico y para un aristotélico. Un lector de El Timeo estaría fascinado con Thom, porque te da una clasificación a priori de todas las formas posibles. Esto es algo prodigioso para un platónico. En El Timeo se encuentra el mito del Demiurgo. El Demiurgo tiene que imprimir las formas en una especie de barro para que surja el mundo. Pero el Demiurgo antes de imprimir ya tiene las formas en la cabeza: ¿cuáles son esas formas? Puesto que va a hacer formas, las formas tendrán que obedecer a algo. ¿Cuáles son los elementos mínimos de la forma? Si tú reconoces algo por algún lado ha de tener una estructura, porque el pensamiento mismo la hace necesaria. Son las condiciones de posibilidad de la forma. El Demiurgo tendría en su cabeza la tabla de elementos de la razón, las siete singularidades elementales de la teoría de las Catástrofes de Thom, y con eso puede hacer todas las formas que le dé la gana. En conformidad con los platónicos posteriores esas estructuras son matemáticas. Pero ¿por qué Thom se reivindica de Aristóteles y no de Platón? ¿De dónde viene la satisfacción de los aristotélicos? Resulta que estas estructuras elementales de las formas tienen una intrínseca perturbación. Esa forma, al estar perturbada, de alguna manera tiene las características de la materia, aunque sólo sea por este hecho, porque es la materia la que introducía las perturbaciones; y este es el aspecto aristotélico. Por eso Thom podría satisfacer a platónicos y aristotélicos. El platónico se quedará con las estructuras elementales de las formas y el aristotélico se quedará con que las formas tienen una intrínseca movilidad, porque son materiales...

... No es difícil imaginarse a René Thom platicando en Atenas con unos y con otros. Más difícil es, desde luego, imaginárselo en nuestra época, que le ha puesto todas las trabas. De Thom los científicos han dicho que era un filósofo, y los filósofos que era un matemático. Víctor Gómez Pin ha escrito un libro, La tentación pitagórica. Ambición filosófica y anclaje matemático, una bellísima introducción al saber matemático desde la filosofía, que incomoda también a unos y otros. La sociedad, parece, no se enamora de la ciencia, no la vive con pasión, y eso, sin lugar a dudas, no puede ir sino contra la dignidad del hombre... (FMPH).

El baile de «los atractores»

René ThomLas ciencias morfológicas se han hecho posibles a partir de un concepto –el «atractor»– tradicionalmente asociado a las causas finales que, por el abuso que se hizo de ellas, fueron proscritas por la ciencia moderna. Era del todo punto inaceptable suponer que Dios hubiera puesto narices al hombre para que, miles de años después, pudieran sostener las gafas. Pero ahora no se trata de esto.

El modelo más intuitivo para comprender el comportamiento de un sistema es un péndulo, que además puede hacerse con un poco de habilidad en nuestra misma casa. Para construir un péndulo es suficiente tomar cuatro palitos y unirlos por un extremo como el esqueleto de una tienda india. Desde el punto de unión se deja caer un hilo con una bolita de acero; se balancea el hilo a partir de un ángulo dado, que puede medirse con un cartabón. Y empieza a moverse con una velocidad, que, a su vez, puede medirse con un reloj-cronómetro. Como el péndulo al llegar a un punto cambia de sentido, el camino recorrido en cada vuelta se puede contabilizar positivamente en el viaje de ida y negativamente en el viaje de vuelta. Esto puede simbolizarse con una curva que se abomba un poco tanto al ir (se abomba a la derecha) como al venir (se abomba hacia la izquierda) del péndulo y que dibujaremos en el plano sobre el que se soporta el péndulo. Si no hubiera rozamiento la trayectoria marcada se repetiría una y otra vez formando una trayectoria cerrada o «ciclo límite». Pero como hay rozamiento la trayectoria se hace cada vez más pequeña, y llegará un momento que se reduzca a un atractor «punto fijo». Si lo dibujamos en el soporte de nuestro péndulo tenemos un conjunto de curvas que expresan el ángulo y la velocidad del péndulo. A ese conjunto se le denomina «espacio de las fases».

Pero ahora viene lo bueno: comienza el baile de variaciones del péndulo. Si en vez de poner en marcha el péndulo suavemente le imprimimos un golpe «a lo loco», de tal manera que la frecuencia del péndulo es diferente a la de la fuerza impulsora, esta última atraerá al péndulo y, si se mantiene esta fuerza, el atractor tras unos momentos de trayectorias caóticas, vuelve a la posición del «ciclo límite». Si ahora se imprime al péndulo una fuerza no lineal, por ejemplo, acercando un imán, el péndulo da breves sacudidas que forman pequeños bucles en el circuito. Si se le procura un poco de fricción, el periodo se duplica y el circuito también. Si se van incorporando otras fuerzas no lineales y el espacio de fases se hace superior a dos, estos circuitos comienzan a trazar figuras cada vez más complejas, como si estuviésemos en un concurso de baile en el que cada vez las parejas se atreven con figuras más y más extravagantes. A falta de otros nombres, esos ciclos se han denominado «atractores extraños» con los que se ha permitido modelar la conducta de sistemas hasta ahora prácticamente inasequibles, como los sistemas meteorológicos, los sistemas de fluidos, los sistemas de turbulencias, etc.,

Polifonía de las formas

Cuando un nuevo campo de fenómenos se abre a la ciencia, el mayor peligro para su normalización procede, por lo general, de las exageradas expectativas que se crean en el público, animado muchas veces por los propios científicos, quienes pretenden promocionar sus investigaciones a toda costa. En EE.UU estas ciencias morfológicas –llamadas «Ciencias de la Complejidad»– se han presentado al público como la gran panacea, capaz de resolver todos los problemas, autoconsiderándose pomposamente ciencia unificada de los sistemas complejos, para igualarse a esos grandes proyectos, generosamente financiados, como el Proyecto Genoma Humano o la Exploración del Espacio Interestelar.

Adviértase que el proyecto morfogenético de Thom se mueve en la escala intercósmica, es decir, en la escala de velocidades y formas cercanas a las percibidas por el cuerpo humano. Los sistemas dinámicos que se acogen mejor a las ciencias morfológicas son aquellos que habían quedado fuera del tratamiento de los sistemas conservativos de la física clásica –la meteorología, las turbulencias, los fluidos, los oleajes...–, así como la biología o la lingüística.

Frente a la Biología Molecular, la Biología Topológica investiga los atractores estables del cuerpo humano como una totalidad: la búsqueda de la estabilidad estructural fundamental que se transmite a todas las células sexuales dependiente de su medio natural. Un estudio que se lleva a cabo desde la embriogénesis, más que desde la estructura del ADN.

En Lingüística, la topología comienza a considerarse como un instrumento muy potente para investigar la Semántica y puede ser muy fértil en la traducción, un campo que se les resiste a la informática desarrollada enormemente en lo sintáctico, pero poco apta para dar cuenta de las estructuras significativas. Desde que B. Pottier iniciara su interpretación de Thom, otros grandes investigadores se han acercado a la teoría morfogenética, sacándola mucho provecho: J. Petitot en Francia, W. Wildgen en Alemania o P.A. Brandt en Holanda. Entre nosotros, destacan los trabajos de Enrique Bernárdez, catedrático de Inglés en Madrid y Ángel López García, catedrático de Lingüística en Valencia. La aplicación de la Teoría de las Catástrofes o Teoría de las singularidades y bifurcaciones a la Lingüística, mi compañero Antonio J. López Cruces y yo mismo, la hemos denominado Semántica Topológica.

Las «morfologías» dentro de los libros

La obra clásica de Thom es Stabilité structurelle et morphogénèse, InterÉditions, París 1977 (traducida con el título de Estabilidad estructural y morfogénesis, Gedisa, Barcelona 1987). Existen dos recopilaciones de artículos en Modèles mathématiques de la morphogenèse, Chistian Bourgois, París 1980 y en Apologie du Logos, Hachette, París 1990. Se han traducido al español, entre otros escritos, Parábolas y catástrofes (entrevista a cargo de G. Giorello y S. Morini), Tusquets, Barcelona 1985 y Esbozo de una Semiofísica. Física aristotélica y teoría de las catástrofes, Gedisa, Barcelona 1990.

La obra precursora es la de D'Arcy W. Thomson (1980), Sobre el crecimiento y la forma, Blume, Madrid, en donde se muestra la espectacular transformación de un pez diodón en un pez luna, o de un pez Scarus en un pez Pomacanthus.

Una introducción a la Teoría del Caos escrita por uno de sus pioneros –el meteorólogo Edward N. Lorenz–, La esencia del caos, Debate, Madrid 1995, sirve de contrapunto a la obra ya clásica de James Gleick, Caos, Seix-Barral, Barcelona 1988.

En el artículo de A. Dambricourt-Malassé, «Nuevas perspectivas sobre el origen del hombre», Mundo científico, nº 169, págs. 526-534, el lector puede hacerse una idea de esta nueva manera de «mirar» al mundo.

Para los más literatos un libro muy bello es el de Gérard Chazal, Formes, figues, réalité, Champ Vallon 1997. Para los más científicos, T. Poston y I.N. Stewart, Catastrophe Theory and its Applications, Pitman, Londres 1978 ; Ivar Ekeland, Le Calcul, l'Imprévu. Les figures du temps de Kepler a Thom, Éditions du Seuil, París 1984 ; Jean Petitot, Physique du sens, Editions du CNRS, París 1992; Alain Boutot, L'invention des formes, Editions Odile Jacobs, París 1993. Para los matemáticos es imprescindible tener en cuenta los trabajos de V. I. Arnold: Singularités des applications dufférentiables, Mir, Moscú 1982, Teoría de catástrofes, Alianza, Madrid 1987, Ecuaciones diferenciales ordinarias, Rubiños, Madrid 1995, Singularidades de cáusticas y de frentes de ondas, Rubiños, Madrid 2000... Para los más técnicos, Robert Gilmore, Catastrophe Theory for Scientists and Engineers, Dover Publications, Nueva York 1981. Para los más lingüistas, Fernando M. Pérez Herranz, Lenguaje e intuición espacial, Instituto Juan Gil-Albert, Alicante 1996; Wolfgang Wildgen, De la grammaire au discorus. Une approche morphodynamique, Peter Lang, vol. 1 de European Semiotics / Sémiotique Européenne 1999. Para los más filósofos, Víctor Gómez Pin, La tentación pitagórica, Síntesis, Madrid 1998.

Notas

{1} Las «catástrofes» elementales:

NombreClasesGérmenesDespliegues
PliegueA2x3x3 + ax
CúspideA3 x4x4 + ax2 + bx
Cola de MilanoA4x5x5 + ax3 + bx2 + cx
MariposaA 5 x6x6 + ax4 + bx3 + cx2 + dx
HiperbólicaD+4x2 y + y3x2 y + y3 + a (y2 – x2) + bx + cy
ElípticaD–4x2 y – y3x2 y – y3 + a (y2 + x2) + bx + cy
ParabólicaD5x2 y + y4x2 y + y4 + ax + by + cx2 + dy2

{2} Modelo Cúspide para explicar el punto de bifurcación: perro encolerizado /perro miedoso.

René Thom: perro encolerizado /perro miedosoRené Thom: perro encolerizado /perro miedoso

{3} Catástrofe ultravioleta. El problema clásico, podría enunciarse así: ¿Cómo se distribuye la energía de un cuerpo caliente a una determinada temperatura? Todos los cuerpos emiten luz según ciertas temperaturas y, a la vez, son capaces de absorberla. Kirchhoff demostró que la relación entre el poder emisivo y absorbente de un cuerpo es una función que no depende de la naturaleza del cuerpo. Cuanta más energía emita el cuerpo y menos absorba, mayor será la radiación existente en los alrededores. Es válida, entonces, la fórmula: wλ = ε (emisión) / α (absorción). Supóngase –como experimento ideal– que un cuerpo absorbe toda la radiación que recibe, pero no refleja nada, el «cuerpo negro». Además, era un hecho de observación bien conocido (en los altos hornos, por ejemplo) que el cambio de temperatura hace variar el color de la radiación: el hierro pasa de gris a rojo a los 600ºC y a blanco a los 6000ºC. ¿Por qué ocurre esto? Pues bien, Wrin, por un lado, demuestra que la longitud de onda correspondiente al máximo de energía, disminuye al aumentar la temperatura. Esta ley concuerda muy bien con las experiencias hasta llegar al infrarrojo, para las menores longitudes de onda (zona del ultravioleta) y bajas temperaturas. Por otro, Reyleigh y Jeans proponen una fórmula que se adapta a las altas temperaturas y mayores longitudes de onda, pero cuando se llegaba al ultravioleta volvía a decrecer. Este fenómeno se llamó «Catástrofe ultravioleta». Max Planck supo acoger las dos leyes –la de Wrin y la de Reyleigh-Jeans– como casos límites de la hipótesis cuántica, lo que cambiaría el panorama de la física.

 

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